平面向量的数量积

王晓溪

【摘要】在向量的代数形式下，选择一组基底，沟通向量之间的联系，将所求向量用基底表示，利用基底求解；在平面直角坐标系中，点与向量可以用坐标表示，数量积等相关问题转化为坐标运算；这两种思路是解决平面几何问题的基本方法。本文以4道高考题为例，分析总结用向量解决平面几何问题的两种常用方法。

【关键词】解析几何；平面向量基本定理；基底；坐标系

【中图分类号】G4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）14-0275-01

平面向量数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、向量的模、夹角以及垂直问题。数量积的综合应用是高考的重点，常与平面几何、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查。下面以4道高考题为例，分析总结用向量解决平面几何问题的两种常用方法。

一、基底法

依据平面向量基本定理，适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，将所求向量用基底表示，利用基底求解。

例1、（2016.江苏，13）如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是 。

分析：用基底法求解，结合已知和所求，选择和作为基底。

，

，

解得：

例2、（2015.湖南，8）已知点A，B，C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

分析：用基底法求解，选择、作为基底。

（θ为与的夹角）

∴当θ=0时，最大，故选B。

二、坐标法

把几何图形置于适当的平面直角坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，把数量积等相关问题转化成坐标运算。

例3、（2015.福建，9）已知，若点P是ΔABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）

A.13 B.15 C.19 D.21

分析：由容易建立坐标系写出坐标，用坐标法求解。

如图建立平面直角坐标系。

故（当且仅当时取“=”）选A

例4、（2017.全国2，12）已知ΔABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）

A.-2 B.

C. D.-1

分析：由等边三角形，边长为2容易建立坐标系写出坐標，用坐标法求解，如图建立平面直角坐标系。

，故选B。

向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理都可以认为是从几何角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础。