开放题：筑起“空间想象”的新时空

仲崇恒

数学能力是数学教育的重要课程目标，空间想象能力是传统的三大数学能力之一。笔者在开放题评测研究中发现，开放题对学生空间想象能力有着较为直接而积极的影响，开放题教学是培养小学生空间想象能力的一条有效路径。培养学生空间想象能力，材料有很多，如图形的转换、分解、组合、辨认、概括、推理、计数、展开和折叠等。下面结合几个教学实例，来说说开放题对小学生空间想象能力培养的影响。

一、开放题，为“空间想象”奠定基石

“平行和垂直”教学时，教师设计这样一道同步练习：在下列图形中，哪两条线段是相互平行的？哪两条线段是相互垂直的？

出示图1，学生小组合作探究交流后，教师追问学生有什么发现？有的发现一条直线和一组平行线的其中一条直线垂直，也与另一条直线垂直；有的发现与同一条线段垂直的两条线段是互相平行的。出示图2时，学生逐一审视长方体的十二条棱间所构成的平行或垂直。回顾图1中的发现，就有学生在图2中找到反例，从而进一步认同了“同一平面”这个判断前提。二维和三维之间的相互转换，恰是发展学生空间观念的有益举措。

一个好的开放题不是条件的多余或缺少的简单取舍，也不是问题的一而再、再而三的无序提出。开放题设计首先是从教学内容的核心知识出发，寻找思维训练的落脚点。上面习题富含空间想象元素，隐含多重维度，多种可能，相比传统的封闭习题，开放题如同一块坚实的基石，稳定性和延伸性更好，可以承载全体学生各种空间思维的不同建构。

二、开放题，为“空间想象”竖起脚手架

“长方体和正方体”单元复习时，教师课件呈现：

仓库里有以下四种规格的长方形、正方形铁皮。①长6分米，宽4分米；②长6分米，宽5分米；③长5分米，宽4分米；④边长4分米。张师傅从中选了5张铁皮，焊接成一个无盖的长方体（或正方体）水箱。你能描述一下这个水箱吗？

学生独立思考和集体交流后，教师问：怎样找出更多的，甚至所有的情况？有的学生认为：四种不同规格铁皮中有6分米、5分米、4分米三种数据，这也是焊成的水箱长宽高的长度。可以分别考虑长宽高中有三种数，或两种数，或只有一种数。有的学生认为：先定底面再选侧面，侧面的长方形铁皮和底面相连的地方长度相同。教师引导学生思考：第一种先定长宽高，第二种先定底面，两种思路都是从简到繁。接着继续探究，师问：请选择你能理解的一种思路，试一试能焊出几种不同的水箱。第二次深入交流后，教师引导：回顾过程，我们的思考和表达怎样改进才能更清晰呢？

本题条件多，答案也多，属于典型的条件和答案双开放习题。学生的不同思路呈现了两种不同的思维视角，共同点是都是从“体”出发，然后进行材料匹配。学生为了让头脑中的“体”可视化，搭建了一个个结结实实的思维脚手架，学生经历多途径、多层次的筛选、比对，通过独立思考和自主探究，理解棱、面、体之间的密切联系，进一步涵养了空间想象能力。

三、开放题，为“空间想象”架起立交桥

“圆锥的体积”教学时，教师出示：以直角三角形（图3）的一条边为轴，将三角形旋转一周，可以得到一个什么体？试一试画出来，然后计算它的体积。

“掌握旋转体”是中小学生空间想象能力水平的最高级。三角形有三条边，旋转后有三种情况，其中以斜边AC为轴的旋转体思维难度最大。学生通过想象，画图，讨论，交流，解决了以AB、BC两直角边为轴旋转后圆锥体积的情况。

教师：以AC为轴可以吗？想象一下能得到一个怎样的立体图形？谁能用橡皮泥把它捏出来？

两名学生捏泥，集体修正、展示后，全体学生画旋转示意图，并找出半径和高的数据。

教師：半径BD和旋转轴AC是什么关系？

学生讲解：线段BD与AC垂直，半径是2.4厘米。

教师：上下两个圆锥的高又各是多少呢？

学生讲解：不需要求出两个高。两个圆锥半径相同，底面积相同，可以合二为一，整体考虑，组合体的体积就是

上面教学中，师生互动，生生联通。整个开放题处理呈现一种立交桥结构：首先是方法孵化的立体思维。教师在学生思维遇到阻碍时，停下来，从动手捏泥到画示意图，再到联想推理，由浅入深，步步提升。其次是伙伴式的立体学习。学生们呼朋引伴，互相启发，用团队思考提升思维品质。

在空间想象能力的培养中，图形与几何是十分重要的领域，同时在数与代数、统计与概率等领域也有用武之地。比如，乘法分配律，行程问题，平均数，折线统计图等。我们认为，教与学中首先有想象的空间，然后才有空间想象。不同的学生面对一道数学题，应该有不同的思维打开方式。开放题教学不仅要在开放题的条件、问题、情境设计上下功夫，还要开放地教，开放地学。我们应该围绕这些方面进一步展开多元思考，设计出更有张力的开放题，探索更有亲和力的教学流程，帮助学生更好地理解数学，发展数学素养。

（作者单位：江苏省昆山市玉峰实验学校）