开放题：基本数学活动经验积累的新载体

王晋远

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果，需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀。数学开放题问题解决具有发散性，其答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，通过多角度的观察、想象、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，探求多个解决问题的方向。因此，开放题是积累基本数学活动经验的重要载体。

一、在策略开放中积累多向思维基本数学活动经验

数学活动经验是学生在学习活动过程中所获得的，离开了活动过程，就不会形成有意义的数学活动经验。在策略开放解决问题教学中，学生自主思考、体验解决问题策略的多样性和可行性，积累多向思维基本数学活动经验。

案例一：计算鸡蛋的体积

小学六年级学生学习了求长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等规则形体的体积知识后，老师专门安排了一次开放性数学活动：把全班同学分成6个人为一个小组，分别围坐在一起，每个组的桌子上均放有1个鸡蛋、1盆水、1个矩形塑料盒、1个茶缸和1把尺子，要求每个组的同学动脑筋想办法，齐心协力计算出鸡蛋的体积。

经过充分讨论，每个小组都有了各自的测算方法，并期望得到老师和其他同学的认可，全班同学人人欲当“发明者”。

老师特意为他们安排了交流的机会，一人发言，多人补充，其他同学指出不足。

生1：我把鸡蛋看作近似圆柱体，在心里适当“割补”，测量出它的底面半径和高进行计算。

生2：这种方法计算出的体积不够精确，我们可以把鸡蛋捣破，把蛋黄、蛋清、挤碎后的蛋壳都倒入圆柱体的杯子里搅匀，测量杯子的底面直径和蛋汁在杯中的深度再计算。

生3：利用橡皮泥捏出一个与原鸡蛋大小、形状完全一样的“鸡蛋”，再改成圆柱体测量计算。

生4：把鸡蛋放入圆柱体杯子里，注满水，再取出鸡蛋，空出的体积便是鸡蛋的体积。

生5：把杯子装满水，再放入鸡蛋，溢出水的体积就是鸡蛋的体积。

……

师：刚才大家想出了这么多的方法，各不一样，都有道理。下面请大家运用桌上已有的材料，测量计算出鸡蛋的体积来，要求简便易行、科学准确。

顿时教室内就像沸水滚开了锅，各小组合理分工，配合默契，持蛋、灌水、测量、计算，很快算出了结果。

在教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的开放性数学探究活动，让学生在自主探索与合作交流中去思考，去质疑，去辨析，去释疑，直至豁然开朗，积累多向思维基本数学活动经验。

二、在开放思考中积累发散思维基本数学活动经验

杜威认为：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”在解决数学问题的过程中，学生通过尝试、探究，突破固有思维，在开放性思考中积累发散思维基本数学活动经验。

案例二：解决行程中的数学问题

问题：小明和小军分别从甲乙两地同时出发，在甲乙两地之间行走（到达另一地后就马上返回）。他俩在离甲地5千米处第一次相遇，在离乙地3千米处第二次相遇。问他们两人第9次相遇的地点离乙地是多少千米（相遇指迎面相遇）？

分析：学生在解这道数学题的过程中，很容易受到常规思维的影响，只考虑第二次相遇时小明和小军各有一个转身这一种情况，仅仅得到一个答案。事实上，这是一道开放性题目，需要开放思考，根据小明和小军的运动情景进行分类讨论。

思考：依题意第一次相遇，小明和小军一共走了一个甲乙两地的路程，小明走了5千米。第二次相遇，小明和小军一共走了三个甲乙两地的路程，小明走了5×3=15（千米），且离乙地3千米时相遇。此时，分三种情况进行讨论：

第一种情况：第二次相遇时小明和小军各有一个转身：甲乙两地相距15-3=12（千米）。从第二次相遇开始，下一次相遇，小明和小军一共要走2个甲乙两地的路程。那么第9次相遇，小明和小军共走了1+2×（9-1）=17（个）甲乙两地的路程。小明走了5×17=85（千米），85÷12=7……1。此时，小明走完了7个全程还需要从乙地向甲地走1千米，即第9次相遇的地点离乙地是1千米。

第二种情况：第二次相遇时小明已两次转身，而小军未转身：甲乙两地相距（15+3）÷3=6（千米）。从第二次相遇开始，下一次相遇，小明和小军一共要走2个甲乙两地的路程。那么第9次相遇，小明和小军共走了1+2×（9-1）=17（个）甲乙两地的路程。小明走了5×17=85（千米），85÷6=14……1。此时，小明走完了14个全程还需要从甲地向乙地走1千米，即第9次相遇的地点离乙地是6-1=5（千米）。

第三种情况：第二次相遇时小军已两次转身，而小明未转身：甲乙两地相距15+3=18（千米）。从第二次相遇开始，下一次相遇，小明和小军一共要走2个甲乙两地的路程。那么第9次相遇，小明和小军共走了1+2×（9-1）=17（个）甲乙两地的路程。小明走了5×17=85（千米），85÷18=4……13。此时，小明走完了4个全程还需要从甲地向乙地走13千米，即第9次相遇的地点离乙地是18-13=5（千米）。

开放性思考为学生提供了更为广阔的思维空间，在学生尝试、探究、开放思考中积累了发散思维的数学活动经验。

三、在开放反思中积累创新思维的数学活动经验

史宁中教授在论及创新能力时指出：“创新能力依赖于三个方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要。”教学中，要通过开放性反思，克服负面的活动经验，提高应变能力与创新能力，积累创新思维的数学活动经验。

案例三：旅游中的数学问题。

师出示购票信息。

A.大人每位160元，小孩每位40元

B.团体5人以上（含5人）每位100元

师：如果是2个小孩、3个大人，怎样购票合理？

生：选B方案便宜。

师：如果是3个小孩、2个大人，怎样购票合理？

生：选A方案便宜。

师：为什么同样是5个人，一种是B省钱 ，一种是A省钱？你发现其中的秘密了吗？

生：一种是大人多孩子少，一种是孩子多大人少，大人多孩子少时选B省钱，孩子多大人多时选A省钱 。

师：如果是4个大人，4个孩子呢？

生：选A与B组合购票方案便宜。

师：看来我们每个人都要学会精打细算，合理购票。

……

对于如果是4个大人，怎样购票比较合理这一问题，学生很容易受已经形成的活动经验的影响，选用A方案即按每位160元，则4人需要640元。其实如果打破常規思维，排除已有经验的干扰，买一张5人的团体票只用500元，可以节省140元，如果将多买的一张票找一个游客一起进去，就又可以得到100元或160元，这样的话，前后共节省240元或300元。

反思是学生数学基本活动经验提炼和升华的过程，要引导学生在开放性“应用和反思 ”中积累创新思维基本活动经验，增强学生具体问题具体分析的能力，提高学生的创新能力。

总之，活动经验要在学习活动的过程中积累，“积累”也需要一个过程。在解决开放题过程中，引导学生把现实、具体的生活经验，提升为理性的数学经验，增强学生的数学综合素养。

（作者单位：陕西省永寿县教研室）endprint