一道课本例题的有效利用

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

一道课本例题的有效利用

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

北师大版《数学》(必修5)第88页有这样一道例题:

证法2：在基本不等式a+b≥2ab的两边同乘以 ab,得(a+b)ab≥2ab,整理可得

点评:证法1和证法2都抓住了“无理根式有理化”这一个基本的解题思想方法,把无理根式 ab的作用与价值充分挖掘了出来,由此为我们提供了一条解决含有根式问题的“绿色通道”。

已知a,b为正数,且a+4b+4ab=8,则a+4b+2ab的最小值是 。

故a+4b+2ab的最小值是6。

点评:对于这道题,如果直接用基本不等式处理,那么往往会出现下列情况:由8=a+4b+4ab≥4,由此可得又由基本不等式,得a+4b+来解题受阻。因为原本想从条件等式中得到某个常数,结果事与愿违,造成“无法实现对接,导致解题失败。

A.2 B.3 C.3 D.22

分析：因为a,b,c是非负实数,存在a,b,c为零的情况,所以不能直接对所求式进行“无理根式有理化”处理。但注意到前面课本例题的证法2,仿照此法,便可打开解题的突破口。

点评:由“非负实数a,b,c”得到:a+b+c≥a+b,是题目中隐含的一个举足轻重的不等式,由此可以将不等式转化为2ab,从而找到另外与(a+b+三者左边根式前面的“系数”统一了起来,让“不能相加”的不等式变成了“能相加”的不等式。同时为顺利构建并得到创造了有利的条件。

受解法1的启发,可得到解法2。

故 ab+bc+ca的最小值为2。

点评:由已知条件可知a,b,c中不会有两个同时为0,因此,此解法的亮点是通过对分母放缩,使“异分母”的三个分式转化为“同分母”,从而使条件等式恰好得到利用。

点评:所求式的分母出现了非齐次的形式,给解题增添了难度,加上所求式与条件式的差异较大,解题容易陷入困境。面对所求式的结构,即使想到柯西不等式,也无济于事,因为

综上,课本例题中隐含着极其丰富的智力资源,只要我们在解题时加以有效利用,就能快捷高效地提升解题素养与核心能力。

(责任编辑 徐利杰)