展开式系数求解方法感悟

■江苏省响水中学高三(7)班 姜大鹏

展开式系数求解方法感悟

■江苏省响水中学高三(7)班 姜大鹏

求展开式中指定项的系数是二项式定理的重要内容,也是高考的常考内容,下面谈谈展开式系数的求解方法。

一、利用二项展开式的通项求解

方法感悟:求一个二项式或两个二项式积的展开式的系数,可利用二项展开式的通项,先由条件确定r,再求出指定项的系数。

A.6 B.7 C.8 D.9

二、利用赋值法求解

方法感悟:关于x的二项式(ax+b)n(a,b是常数)的展开式可以看成关于x的函数,当x赋予某一值时,可以得到一个与系数有关的等式,所以,当展开式涉及系数,特别是系数和的问题时,可以利用赋值法求解。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析：令x=-1,则(1+1)(-2+1)9=a0+a1+a2+…+a11,得a0+a1+a2+…+a11=-2。故选A。

解析：令x=1,得:

0=a0+a1+a2+a3+a4+a5。①

令x=-1,得:

25=a0-a1+a2-a3+a4-a5。②

由①+②得a0+a2+a4=24,①-②得a1+a3+a5=-24。

则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256。

特别提醒:若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式的各项系数之和为f(1),常数项a0=f(0),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=

三、利用换元法求解

方法感悟:数学解题是一个转化与化简的过程,利用换元法,可将某些系数问题转化为二项展开式系数问题求解。

A.9 B.10 C.-9 D.-10

解析：令t=x+1,则x=t-1,多项式化为t-1( )2+t-1( )10=a0+a1t+…+a9t9+a10t10,则a9=C110-1( )=-10。故选D。

四、利用计数原理求解

方法感悟:求几个多项式积的展开式中某一项的系数,根据多项式的乘法法则,可利用计数原理求解。

A.160 B.240 C.360 D.800

解析：(x2+3x+2)5看成五个因式(x2+3x+2)的积,含x的项是五个因式中都不取x2项,恰在一个因式中取3x,从余下的四个因式中取常数形成的,则含x的项为,所以x的系数为240。故选B。

(责任编辑 徐利杰)