解题探究活动不能仅仅留下一个结论——谈分段求和破解含绝对值项的数列求和方法

江苏 王怀学

解题探究活动不能仅仅留下一个结论
——谈分段求和破解含绝对值项的数列求和方法

江苏 王怀学

一、分组分段求和是解决问题的本质策略

含有绝对值的问题中，首要任务就是分类讨论.对于一个数列{an}，如果有些项是正数，有些项是负数，在求数列{|an|}的前n项和的时候，就需要把正数项和负数项分组求解.这是此类问题求解首先要明确的一个问题.

【例1】在等差数列{an}中，a1gt;0,a10·a11lt;0，若此数列的前10项和S10=36，前18项的和为S18=12，则数列{|an|}的前18项的和T18=________.

【解析】由已知得公差dlt;0，a10gt;0,a11lt;0，所以等差数列{an}单调递减.

所以T18=S10+|a11|+|a12|+…+|a18|

=S10-(a11+a12+…+a18)

=S10-(S18-S10)

=2S10-S18

=72-12=60.

【变式1】在数列{an}中，已知an=n+11，n∈N*，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】当n∈N*时，an=n+11gt;0成立，

则数列{an}可以看成首项为12，公差为1 的等差数列.

二、前k项为正数的分段讨论

求数列{|an|}的前n项和，就是要搞清楚数列{an}的项的正负，再分组分段求和，而数列{an}的项的正负决定着分组讨论的不同情形，因此我们要对数列{an}的项的正负展开讨论.

【例2】在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.

(Ⅰ)求d,an;

(Ⅱ)若dlt;0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】(Ⅰ)依题意得(2a2+2)2=5a1a3，4(a1+d+1)2=50(a1+2d)，(11+d)2=25(5+d)，解得d=4或d=-1，于是an=4n+6或an=11-n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当dlt;0时,an=11-n,

①当1≤n≤11时,an≥0，

②当n≥12时,anlt;0，

【点评】当数列的项有正负之分，就需要先判断正负再求和.当前k项为正，后n-k(ngt;k,n,k∈N*)项为负时，可得Tn=|a1|+|a2|+…|ak|+|ak+1|+…+|an|=(a1+a2+…+ak)-(ak+1+ak+2+…+an)=Sk-(Sn-Sk)=2Sk-Sn.

【变式2】已知数列{an}的前n项和为Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.

【解析】因为Sn=32n-n2，所以当n≥2时，Sn-1=32(n-1)-(n-1)2,

作差得，an=33-2n，a1=S1=31也满足上式.

所以，数列{an}的通项公式为an=33-2n，所以数列{an}单调递减.

即当n≤16时，angt;0；当n≥17时，anlt;0.

所以当n≤16时，数列{|an|}的前n项和Tn=Sn=32n-n2；

又S16=256，所以当n≥17时，Tn=2S16-Sn=n2-32n+512.

三、前k项为负数的分段讨论

数列的前k项的正负，其实从本质上同求和没有什么区别，都是要进行分段求解，前k项都是正的，那么就把前k项单独拿出来，并直接表示为Sk，余下的提取负号，还是可以用Sn-Sk表示；同理前k项都是负数，方法也是同样，不需要背记公式.

【例3】数列{an}的前n项和Sn=n2-100n.

(Ⅰ) 数列{an}是什么数列?

(Ⅱ)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】(Ⅰ)因为Sn=n2-100n，所以

an=Sn-Sn-1=n2-100n-(n-1)2+100(n-1)=2n-101(n≥2)，

当n=1时，满足条件，所以an=2n-101，

所以数列{an}是首项为-99，公差为2的等差数列.

(Ⅱ)因为bn=|an|=|2n-101|，

所以当n≤50时，Tn=-Sn=-n2+100n；

当n≥51时，

Tn=T50+a51+a52+…+an

=-S50+a51+a52+…+an

=-S50+Sn-S50

=Sn-2S50

=n2-100n+5 000，

【点评】前k项为负，后n-k(ngt;k,n,k∈N*)项为正的数列求和，首先按绝对值的代数意义去绝对值符号，可得

Tn=|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|+…+|an|

=-(a1+a2+…+ak)+(ak+1+ak+2+…+an)

=-Sk+(Sn-Sk)=Sn-2Sk.

【变式3】在数列{an}中，已知an=2n-25，n∈N*，求 |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{|an|}前n项和为Tn.

所以，对数列{|an|}来说，

当n≥13时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a12|+|a13|+…+|an|=-(a1+a2+…+a12)+(a13+a14+…+an)=-2(a1+a2+…+a12)+(a1+a2+…+an)=Sn-2S12=n2-24n+288.

江苏省赣榆县海头高级中学)