定义在左，计算在右——用结论求解几例抛物线的高考试题

河北 田卫东

定义在左，计算在右
——用结论求解几例抛物线的高考试题

河北 田卫东

在历年的全国高考试题中，频繁地考查了与抛物线定义有关的题目，对于其中有些题目的解答，我们往往更侧重运用坐标法解决，因而运算量较大，费时费力，有时效果不佳．笔者经过对抛物线定义的深入分析研究，并参考部分教学资料，得到了关于抛物线的一些重要结论，用这些结论求解与抛物线定义有关的高考题，尤其是选择填空题，则会事半功倍，效果非常好．下面将整理得到的部分结论及相关高考试题的解答过程呈献给各位读者，如有不当之处，还请批评指正．

一、所得常见结论

如图，我们以抛物线y2=2px(pgt;0)为例：设A(x1,y1)，B(x2,y2)为抛物线上的两点，线段AB的中点为M，点A，M，B在准线l上的射影分别为A1，M1，B1，F为抛物线的焦点，直线AB经过点F且倾斜角为θ．

(7)M1F⊥AB．

(9)∠A1FB1=90°，以A1B1为直径的圆与直线AB相切于点F．

(10)设AM1交y轴于点E，BM1交y轴于点N，则A1，E，F及B1，N，F分别三点共线，且AM1⊥A1F，BM1⊥B1F，即四边形EFNM1为矩形．

(11)M1A∥B1F，M1B∥A1F．

(12)以AF，BF为直径的圆与y轴分别相切于点E,N．

(14)AM1平分∠A1AF，BM1平分∠B1BF；A1F平分∠AFO，B1F平分∠BFO．

(15)设MM1交抛物线于点Q，则|M1Q|=|QM|，|AB|=4|FQ|．

(16)设准线l与x轴交于点K，则A，Q，K三点共线，且FK是∠AKB的平分线．

(19)①A，F，B共线；②A，O，B1共线；③BB1∥x轴，若其中任意两个作为条件，则能推出第三个成立．

(20)M1A与M1B是抛物线的切线，或者说以A，B两点为切点的两条切线互相垂直且交点在抛物线的准线上．

二、部分结论的简要证明及解释

∴∠AM1M=∠M1AM，

∵M1M∥A1A，∴∠A1AM1=∠AM1M，

∴∠A1AM1=∠M1AM，

∴△AA1M1≌△AFM1，∴∠AFM1=∠AA1M,

∴M1F⊥AB，即结论(7)成立．

同理可证△BB1M1≌△BFM1，

∴∠B1M1B=∠FM1B，

又∵∠A1M1A=∠FM1A，∴∠AM1B=90°，

∴在Rt△AM1B中，

再结合直线与圆相切的条件，易得结论(8)、(9)．

由△AEA1≌△AEF可得A1E=EF，

而EN∥A1K，OK=OF，∴A1,E,F三点共线，

且AM1⊥A1F，同理可证B1,N,F三点共线,

且BM1⊥B1F，

∴四边形EFNM1为矩形，结论(10)成立．

∵∠A1M1A=∠AM1F=∠M1BA=∠M1BB1=∠M1B1N，

∴M1A∥B1F，同理M1B∥A1F，即结论(11)成立．

∵E为线段A1F的中点，且∠AEF=90°，

∴以AF为直径的圆与y轴相切于点E，结论(12)成立．

∵M1F⊥AB，MG⊥AB，∴M1F∥MG，

而M1M∥FG，∴四边形FGMM1是平行四边形，

即结论(13)成立．由上述证明过程易知结论(14)成立．

在Rt△M1FM中，∵|QF|=|M1Q|，

∴Q为M1M的中点，|AB|=2|M1M|=4|FQ|，

∴结论(15)成立．

∴△AA1K∽△BB1K，∴∠B1BK=∠A1AK，

∴∠BKF=∠AKF，

∴结论(16)成立，也可用解析法证明此结论，

通过坐标关系可证tan∠AKF=tan∠BKF成立．

由抛物线的定义可知结论(17)显然成立．

得y2-2pky-p2=0，由此可知y1y2=-p2，

故结论(18)成立，这是抛物线焦点弦的一个重要结论，各种参考资料上都会见到它．

在结论(19)中，我们不妨以①，③作为条件，证明②成立．

由A，F，B共线可得y1y2=-p2，

即k也是直线OA的斜率，所以直线AB1经过原点O．

下面证明结论(20)，

设P为抛物线y2=2px(pgt;0)准线上的任意一点，

直线PA，PB与该抛物线分别切于A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则PA的方程：yy1=p(x+x1)，

PB的方程：yy2=p(x+x2)，

三、利用结论简解与定义有关的抛物线高考题(全国卷)

( )

解：由结论(3)可得答案为C．

( )

3．(2009·全国卷Ⅱ理9)已知直线y=k(x+2)(kgt;0)与抛物线C:y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=

( )

解：如图，设点B到x轴的距离为h，

∵|FA|=2|FB|，∴|A1A|=2|B1B|，

∴B为AK的中点，∴OB∥FA，且|FA|=2|OB|，

∴|OB|=|FB|，∴∠AFx=∠BFO=θ，

∵|FA|=2|FB|，

( )

5．(2013·全国新课标卷Ⅱ文10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A,B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为

( )

A．y=x-1或y=-x+1

6．(2013·全国新课标卷Ⅱ理11)设抛物线C:y2=2px(pgt;0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为

( )

A．y2=4x或y2=8x

B．y2=2x或y2=8x

C．y2=4x或y2=16x

D．y2=2x或y2=16x

解：如图所示，由结论(10)可知E为线段M1F的中点，

∵|OE|=2，∴|M1K|=4，

即p=2或p=8，∴C的方程为y2=4x或y2=16x，故选C．

7．(2014·全国新课标卷Ⅱ理10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为

( )

8．(2014·全国新课标卷Ⅱ文10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，则|AB|=

( )

9．(2016·全国新课标卷Ⅲ20)已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点，若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ．

解：由结论(11)的证明过程可证此题．

说明：由于篇幅所限，大部分题目未能用坐标法给出解题过程，各位读者可以自行运用坐标法求解并加以分析比较．

四、一些感悟和建议

河北昌黎第一中学)