解题过程中挖掘“隐含信息”的几种典型视角

四川 何志雄

解题过程中挖掘“隐含信息”的几种典型视角

四川 何志雄

隐含信息是指题目中隐而未显、含而未露同时需要不断挖掘并利用条件进行推理和变形才能显现出来的信息，它们常常巧妙地隐藏在题设背后，极易被忽略，但却对揭示问题本质、实现解题突破、优化思维过程等起着关键作用，本文结合实例略谈挖掘隐含信息的几种常见视角，供大家参考．

一、挖掘定义的内涵

定义揭示了概念最本质的属性，是研究概念的基础和最有力的工具．挖掘定义的内涵实质上是为解题挖掘出最本质的条件，也是在为解题寻找一把钥匙，让解题过程更加简捷明快，但只有在全面、深刻地理解定义的基础上，才能从定义中挖掘出隐含信息，进一步指导解题．

【例1】 已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则点(a，b)的轨迹是

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A．点 B．线段

C．直线 D．圆锥曲线

分析：本题常常会误选成C，理由是因为f(x)是偶函数，于是得出一次项系数b=0，同时错误地以为a∈R．这样的思路就恰好忽略了对奇(偶)函数定义的内涵的挖掘．

点评：挖掘定义的内涵解题不仅促进了对数学知识的融会贯通，而且比用其他方法更能显得技高一筹，因此教学中应重视对这种无形知识的开发和利用．

二、挖掘局部与整体的内在联系

对于题设出现较复杂的几何体或代数式的情形，可将复杂的整体分解成若干个局部，然后对各个局部分别研究或着重研究某一特殊局部，接下来利用局部与整体的内在联系，由局部推测或激活整体，以局部解决获取整体解决．

( )

分析：本题的背景是非典型多面体，没有现成的体积公式可用，可考虑对图形进行分解，将其分割成特殊的几何体，然后再挖掘局部与整体的内在联系，使问题巧妙获解.

解：直接计算该多面体的体积费时且比较困难，可连接BE,CE，则原多面体的体积转化为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF的体积之和，易得四棱锥E-ABCD的体积VE-ABCD=6，由局部与整体的关系可知原多面体的体积应大于6，故选D.

【例3】 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，a≠0)，f(2)=0，且方程f(x)=x有等根.

(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)是否存在常数p，q(plt;q)，使f(x)的定义域和值域分别是[p，q]和[2p，2q]，如果存在，求出p，q的值；如果不存在，说明理由.

三、挖掘变元的取值范围

这里所谓变元的取值范围是指题设中并未给定，但却隐藏在题中等式、不等式或图形内的变元的取值范围，挖掘出此类变元的取值范围不仅是解题的必经之路，而且对于提高思维的严密性和敏捷度大有裨益.

分析：若直接判断函数f(x)的奇偶性，则很难发现f(x)与f(-x)的关系，但若注意到函数的定义域，则绝对值符号就很容易去掉，问题的解决也就峰回路转了.

【例5】 设α，β为锐角，且α+β=120°，试求函数y=cos2α+cos2β的最值．

点评：类似于本题，当题设中的某些条件是由多个变元组成的代数式时，各变元间往往不再具有独立关系，而是一个变元的取值要受到另一个变元的制约或影响，此时应把其中一个变元用其他变元表示，并借助某些条件把其他变元的范围求出来，这也是解决此类问题的关键一步.

四、挖掘代数关系的几何背景

有些代数问题，若能根据已知代数关系的结构，挖掘出它的几何背景，则可以通过化数为形，利用数学模型的直观性，将抽象的数量关系转化为具体的图形，从而使问题巧妙地得到解决.

分析：本题表面上是一个关于t的二次式，但又有三角函数作另外的约束条件，因此从纯代数角度采用常规思路难以解决.仔细观察目标式后，不难挖掘出这样的隐含信息：目标式的结构类似于两点间的距离公式，于是可考虑从几何角度解决问题.

分析：仔细研究目标不等式，不难挖掘出这样的隐含信息：目标不等式中的三个根号的值均大于0，该不等式的结构类似于“三角形中两边之和大于第三边”，因此可考虑从几何角度解决问题.

点评：在解决代数问题时，揭示出隐含在内部的几何背景，不仅使抽象问题直观化，复杂问题简单化，获得了避繁就简、化难为易的新颖解法，而且对创造型思维的开发和培养也很有益处.

五、挖掘所给图形是否经过特殊位置

在题设所给的图形中，对尚未直接显现出来的各个元素，通过合情的推理运算或添加适当的辅助线，将图形所经过的特殊位置揭示出来，并充分发挥这些位置的作用，可以达到化难为易、迅速导出结论的目的.

( )

A.0 B.1

C.2 D.不能确定

【例9】 已知A和B为抛物线y2=4px(pgt;0)上除原点以外的两个动点，若OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

点评：能否顺利挖掘出图形经过特殊位置的关键在于平时多进行这方面的思维训练和总结归纳.

六、挖掘常见几何图形的固有属性

研究几何问题时，挖掘几何图形的固有属性常常是必不可少的一环.若能充分挖掘出图形的固有属性，则往往会使代数运算大为简化，使问题简单明了，有时也可以用挖掘出的属性绕开计算的暗礁，达到事半功倍的效果.

【例10】 已知点A(a，b)是圆D：x2+y2-2dx-2ey+f=0内的一定点，弦BC与点A组成一个直角三角形，且∠BAC=90°，求弦BC中点P的轨迹方程.

分析：要解决本题，不妨作出一个能大致反映题设的草图，然后联想到有“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这样的几何属性，若能及时挖掘出这样的隐含信息，问题也就迎刃而解了.

四川省资阳市雁江区教育教学研究室)