由一个考题得到的球内接几何体的公式化计算

云南 杨相元

由一个考题得到的球内接几何体的公式化计算

云南 杨相元

球内接几何体的相关计算是考查学生空间想象能力、作图能力和计算能力的有效载体，是最近几年全国高考卷的核心考点，其基本解法是通过补形，连接“心心距”构造直角三角形和建系等，本文通过一个模考题的深入分析得出解决此类问题的公式化计算解决方案.

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A．3π B．5π

C．9π D．12π

【解析】如图，在三棱锥A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，

设高A1A=h，△ABC为边长a的正三角形，

过球心O作OK⊥A1A于点K，

于是在Rt△OKA1中，

所以在Rt△OO1A中，

探究：将题中的三棱锥改为“三棱柱A1B1C1-ABC中,A1A⊥底面ABC，底面ABC是正三角形”.

如图，设AA1=h，△ABC的边长为a，由重心定理易知

类似，若将题中的锥体进一步更改，通过补形、构造直角三角形等手段(读者可自行完成)可得如下结论：

【解析】由公式②得

【解析】由公式③得

所以S=4π×42=64π.

【变式3】在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，且三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC-A1B1C1的外接球表面积为________.

所以S=4π×22=16π.

【变式4】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为

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【变式5】(2013·辽宁卷理·10)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3，AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为

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【解析】由公式⑥得

云南省下关第一中学)