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算不下去了怎么办?
——从一道解析几何试题的解法说起

2017-12-14安徽陈晓明

教学考试(高考数学) 2017年6期
关键词:切线试题方程

安徽 陈晓明

算不下去了怎么办?
——从一道解析几何试题的解法说起

安徽 陈晓明

这是笔者所在学校(省级示范高中)一道高三联考数学(文科)试题,考场上此题让大多数的同学或束手无策,或半途而废,得分率极低.许多同学都是在计算过程中遇到障碍,算到最后算不下去了.算不下去了怎么办?于是在试卷讲评课上笔者带领学生对该题解法一探究竟,以求找到困难原因,掌握此类问题解题策略.结果课堂上精彩纷呈,生成不断,带来好多意外收获!课后让我久久难忘,引起笔者对数学课堂教学的再次思考,一心想再次回味课堂,不断反思,不断提高……

为了保持课堂的原汁原味,还是先回到课堂.

1.课堂实录

首先在黑板上展示题目:

( )

接下来教师让学生充分思考,动笔去解,老师在学生中巡视……

教师:谁来谈谈你的看法?

这时班上有名的数学王子发话了.

学生1(解法1):如图所示,

令切点为M,显然切线F1M的斜率不为0,

故可令切线F1M的方程为x=my-c,

即x-my+c=0.因为OM⊥F1C,

所以点O到切线F1M:x-my+c=0的距离

d=R=|OM|=a,

c2(b2-a2)y2-2acb3y+a2b4=0.②

(接下来本想通过十字相乘法解方程,可尝试几次未成功.只好用公式法解方程!)

因为Δ=4a4b4c2,

因为|CD|=|CF2|,所以由两点间距离公式得方程

这个方程太恐怖!

接下来算不下去了……

教师:你的解法很自然朴素,属通性通法.而且你很有魄力,敢于尝试!学习数学需要你这种勇敢精神!解出C点坐标,得到方程③很不容易.令人遗憾的是方程③确实复杂,算起来太麻烦,我们同学可以课后去挑战一下!许多同学也是到这里算不下去了,算不下去了怎么办?是硬着头皮慢慢算,还是另辟蹊径?在考场上要算出来肯定是得不偿失,因为需要时间太多了.

就在这时,数学课代表举手了.

学生2(解法2):由双曲线定义得

|CF1|-|CF2|=2a,又|CD|=|CF2|,

故|CF1|-|CD|=2a.即|F1D|=2a.

化简得b4+a2b2=4a2c2,

即(c2-a2)2+a2(c2-a2)=4a2c2,

进一步化简可得c2=5a2,

教师:厉害!简单多了.在圆锥曲线中定义法是解题的灵魂,真是不假.看来,当我们算不下去的时候,换个思路,可能峰回路转,柳暗花明!这里的关键是转化思想,利用双曲线定义及已知条件,巧妙地将用两次两点间距离公式(|CD|=|CF2|)转化为只用一次(|F1D|=2a),从而成功回避了求C点坐标.

我刚讲到这儿,平时一直喜欢动脑的姚同学可能是看到别人得了表扬也想证明自己,他插了一句话.

学生3:D点坐标也不用求.

他这句话像平地惊雷,把大家都惊呆了,觉得不可思议!

教师:那你快说说看.

所以OD⊥F1M,

又由圆的切线的性质定理知OM⊥F1M,

故点D与点M重合.这样在Rt△OMF1中(如图所示),

因为|F1M|=|F1D|=2a,

所以由勾股定理得4a2+a2=c2.

教师:太神奇了!算不下去了怎么办?退一步海阔天空.姚同学有一双敏锐的眼睛,竟然发现点D与点M重合,这样计算双曲线的离心率只需口算,计算量一下由地狱走到天堂,不战而胜,真是太爽了!

这时班上同学都发出惊叹的唏嘘声,向姚同学投去了钦佩的目光!

就在笔者准备鸣锣收兵时,平时有点内向的刘同学可能是被课堂气氛所感染,他举手了.

学生4(解法4):求切线F1M的斜率可直接在Rt△OMF1中求(如图所示):

因为|OM|=a,|OF1|=c,所以|F1M|=b.

教师:对呀.真聪明.这样求切线F1M的斜率的方法又简单了.

教师:解析几何题是高考中的必考题.经常有计算量较大的试题出现,对我们同学的计算能力是一个考验.特别是有时候因方法不当出现算不下去的局面,算不下去了怎么办?这时我们可能要多一些思路,不能在一棵树上吊死,否则考试时间不允许.对同一个问题,可从不同的视角来进行思考,可能会有新的发现:某些点是特殊点,某些值是特殊值,某些直线处于特殊位置,某些线有特殊的位置关系……这时就是踏破铁鞋无觅处,得来全不费工夫了!就算是没有简便方法,同样的算式我们也可能找到一些计算技巧,使计算简化.

此时下课铃声响起!

我看到了学生脸上的表情:惊叹之余,有些不舍和遗憾!

2.教学思考

看来,我们教师要充分相信学生,教学中要多给学生一点自由思考的时间,教师不能只按照自己事先想好的思路来教学,否则就会限制学生的思维,强扭学生的思维,题目刚出来就先进行提示或分析,那样做会扼杀学生的自主思维能力,剥夺学生的自由创造空间.在学生还没来得及思考的时候,老师硬是用自己固定的思路框定他们的头脑,使他们服从于已有的模式,这对他们思维能力的形成是个不小的打击.

离开了学生的“自主活动”“智力参与”“个人体验”就没有真正的学习了.把课堂还给学生,引发学生积极思维,让每位学生在数学思维的世界里自由地翱翔,向习题课教学要效益,通过问题解决,促进学生对数学知识的理解,让每位学生主动、积极地参与教学.当然,要做到这点,首先教师对习题的本身要有深入的研究,其次,对学生的课堂参与要给予足够的激励和引导.把课堂还给学生,注意倾听他们的声音,点燃他们的思维之火.

到这里,我想起叶澜教授曾说:“课堂是向未知方向挺进的旅程,随时都有可能发现意外的通道和美丽的因素,而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情行程.”

3.结束语

安徽省宁国中学)

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