一类满足f(x)±f(-x)=p(x)的可导抽象函数的巧构巧设

湖北 严海平

一类满足f(x)±f(-x)=p(x)的可导抽象函数的巧构巧设

湖北 严海平

以导数为背景的抽象不等式的求解以及解参数范围是部分学生的弱点.究其原因主要是对含有导数符号的结构和对抽象不等式的结构认识不清，找不出条件与结论之间的内在联系，其次是对基本函数的导数和导数的四则运算法则不熟悉不敏感造成的，解决此类问题的主要方法是根据条件与结论间的结构特征，联想基本函数的导数和导数的四则运算法则，构造出相关的抽象函数，利用抽象函数的单调性、奇偶性以及相关的性质进行求解，以下就满足形如f(x)±f(-x)=p(x)的可导抽象函数解决不等式问题，解决参数范围问题进行浅析，此类问题在各地调考以及高考中常以选择题、填空题压轴题出现.

一、满足形如f(x)+f(-x)=h(xn)的抽象函数巧构巧设

题1.(2016·山西省一模第16题)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x).对∀x∈R，f(x)+f(-x)=2x2.当x∈(-∞，0]，有f′(x)+1lt;2x.若f(2+m)-f(-m)≤2m+2，则实数m的取值范围是________.

解析：抓住f(x)+f(-x)=2x2的特征，可进行巧构巧设.

解法一：(巧设)

设函数f(x)=x2-2x，

显然满足题设条件，

因为f(x)的对称轴为x=1，

所以f(m+2)=f(-m)，

所以原不等式等价于2m+2≥0，

所以m∈[-1，+∞).

解法二：(巧构)

因为x∈(-∞，0]时，f′(x)+1lt;2x，

所以f′(x)-2x+1lt;0，即(f(x)-x2+x)′lt;0 ①，

所以构造函数g(x)=f(x)-x2+x，

因为f(x)+f(-x)=2x2，

所以g(x)+g(-x)=(f(x)-x2+x)+(f(-x)-x2-x)=f(x)+f(-x)-2x2=0，

所以g(x)为奇函数.

由①式可得g(x)在x∈(-∞，0]上单调递减，

所以g(x)在x∈(0，+∞)上单调递减，

由f(x)在R上可导,得g(x)在R上是连续函数，

所以g(x)在R上单调递减.

f(2+m)-f(-m)≤2m+2⟺f(2+m)-(2+m)2+(2+m)≤f(-m)-(-m)2+(-m),

即g(2+m)≤g(-m)，故2+m≥-m，

即m≥-1.所以m∈[-1，+∞).

点评：抓住f(x)+f(-x)=2x2的特征，挖掘隐含条件,函数的奇偶性和f(x)与f(-x)之间的和差关系，在解法一中构造出满足条件的函数f(x)=x2-2x，利用函数的对称性将f(2+m)-f(-m)≤2m+2转化为2m+2≥0，使问题得到解决.在解法二中，构造出满足条件的抽象函数g(x)=f(x)-x2+x，由f(x)+f(-x)=2x2推出g(x)为奇函数，由x∈(-∞，0]时，f′(x)+1lt;2x推出g(x)在x∈(-∞，0]上单调递减，再利用抽象函数的单调性、奇偶性以及相关的性质进行求解.

变式演练：

( )

C.(-∞，2]

D.[2，+∞)

解析：抓住f(x)+f(-x)=x2的特征，可进行巧构巧设.

解法一：(巧设)由f(x)+f(-x)=x2,

解法二：(巧构)由f(x)+f(-x)=x2,

得F(-x)+F(x)=0，所以F(x)是奇函数，

又F′(x)=f′(x)-xgt;0，

所以F(x)在R上是增函数，

答案:A

2.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(-x)+f(x)=x2，且在(0，+∞)上f′(x)gt;x．若f(2-a)-f(a)≥2-2a，则实数a的取值范围为

( )

A.[1，+∞)

B.(-∞,1]

C.(-∞,2]

D.[2,+∞)

答案:B

3.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对∀x∈R,f(x)+f(-x)=x2，且当x∈(0，+∞)时，f′(x)lt;x.若有f(6-m)-f(m)-18+6m≥0，则实数m的取值范围为________.

答案:[3,+∞)

题2.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，若f(x)-f(-x)=2x3，且当x∈(0,+∞)时，f′(x)gt;3x2，则f(x)-f(x-1)gt;3x2-3x+1的解集为

( )

A.(-∞，2)

D.(2，+∞)

解析：抓住f(x)-f(-x)=2x3的特征，可进行巧设.

解：F(x)=f(x)-x3，则F(-x)=f(-x)+x3，

所以F(x)-F(-x)=f(x)-x3-f(-x)-x3=0，

F(x)-F(-x)=0，所以F(x)是偶函数，

当x∈(0，+∞)时，F′(x)=f′(x)-3x2gt;0，

所以F(x)在x∈(0，+∞)上是增函数，

由f(x)-f(x-1)gt;3x2-3x+1，

得f(x)-x3gt;f(x-1)-(x-1)3，

即F(x)gt;F(x-1)，亦即F(|x|)gt;F(|x-1|)，

点评：抓住f(x)-f(-x)=2x3的特征，利用奇偶函数的特征巧设F(x)=f(x)-x3，得出这是偶函数，利用x∈(0，+∞)时，f′(x)gt;3x2得出F(x)在x∈(0，+∞)上是增函数，将f(x)-f(x-1)gt;3x2-3x+1变形为F(x)gt;F(x-1)，利用抽象函数的单调性、奇偶性进行求解.

二、满足形如f(x)+f(-x)=h(sinx)或h(cosx)的抽象函数巧构巧设

题3.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，且∀x∈R,有f(x)+f(-x)=2sin2x，当x∈(0，+∞)时，f′(x)lt;sin2x，则以下大小关系一定正确的是

( )

所以g′(x)=f′(x)-sin2xlt;0(xgt;0)，

所以g(x)在x∈(0，+∞)上单调递减，

变式演练：

解析：构造函数h(x)=f(x)-cosx，

则h(x)+h(-x)=f(x)-cosx+f(-x)-cos(-x)

=f(x)+f(-x)-2cosx=0,

所以h(x)为奇函数，

又h′(x)=f′(x)+sinx≥1+sinx≥0，

故h(x)在R上单调递增.

湖北省武汉市关山中学)