APP下载

解三角形的几个技巧

2017-12-14山西李有贵

教学考试(高考数学) 2017年6期
关键词:延长线余弦定理勾股定理

山西 李有贵

解三角形的几个技巧

山西 李有贵

解三角形问题的常规解法是利用正余弦定理,以及三角函数公式求解.孰不知勾股定理是余弦定理的特殊情形,锐角三角函数的定义方法是在直角三角形中定义的,因而解三角形的问题,可以通过作高得到直角三角形,利用三角函数的定义、勾股定理,以及特殊直角三角形来解题.

一、构造特殊直角三角形解题

【解析】如图,作AE⊥BC于E,CF⊥AB于F.

由勾股定理得

所以∠BAC=60°.

二、利用三角函数的定义解题

【例2】已知在△ABC中,若C=120°,tanA=3tanB,sinA=msinB,则实数m=________.

【解析】如图,

作AD⊥BC交BC延长线于D,设CD=1,

【评注】过A作三角形的高AD.由C=120°为特殊角,既可以利用特殊直角三角形中三边之间的关系,又可以利用三角函数的定义得到tanA,tanB的表达式,因而可以利用方程求解.利用两角和的正切公式求出x后,利用正弦定理求出m.

【简解】如图,作AD⊥BC于D,

在△ABD中,

三、转化为方程(组)解题

在△BCD,△ABD中,由勾股定理得

x2+h2=49②,y2+h2=64③,

③-②得y2-x2=15,即(y+x)(y-x)=15,

②+③-2×①得(y-x)2=9,即y-x=3.

【简解】如图,作平行四边形BADC,

作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足为E,F.

所以△BCE≌△ADF.

所以AF=BE=4x.在△BDF中,

四、构造相似三角形解题

【例4】已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是________,cos∠BDC=________.

【评注】求三角形面积最常用的公式是底与高的积的一半,求角的余弦值用三角函数定义求解.因而想到作AB边上的高CE,BC边上的高AF,利用等腰三角形性质,构造相似三角形求解.

山西省临县第一中学)

猜你喜欢

延长线余弦定理勾股定理
勾股定理紧握折叠的手
用勾股定理解一类题
应用勾股定理的几个层次
南京地铁二号线既有线与延长线的施工及转场组织研究
余弦定理的证明及其应用
聚焦正、余弦定理的变式在高考中的应用
2020年本刊原创题(二)
《勾股定理》拓展精练
正余弦定理的若干证明与思考
正余弦定理在生活中的运用