抽象函数性质中的易错问题

河北 温和群

抽象函数性质中的易错问题

河北 温和群

抽象函数因为没有给出具体的函数解析式所以无法利用熟悉的具体函数的性质来进行研究，因而这一类问题对学生来讲非常容易出错,而这一类问题往往是高考考查的难点.下面就抽象函数的定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性等问题举例说明，只要掌握了分析这类问题的规律，解决起来会非常轻松.

问题1：(1)已知函数y=f(x)的定义域为[1,2]，则函数y=f(2x)的定义域为________.

(2)已知函数f(2x)的定义域为[1,2]，则函数f(x)的定义域为________.

答案：(1)[0,1]；(2)[2,4].

分析(1)：定义域指的是式子中x的取值范围，2x占据了f(x)中x的位置，所以应满足1≤2x≤2，解得0≤x≤1.

分析(2)：由x的取值范围求出2x的范围2≤2x≤4，而f(x)中的x占据了2x的位置，所以应满足它的范围，即[2,4].

问题2：已知函数y=f(x)的值域为[1,2]，则函数y=f(x+m)，mgt;0的值域为________.

答案：[1,2]

分析：函数y=f(x+m)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移m个单位得到的，图象的左右平移不会改变函数的值域.

问题3：对于函数y=f(x)，若满足f(1+x)=f(1-x)，则y=f(x)的图象关于________对称.

答案：直线x=1

分析：这是一个函数图象自身的对称问题.1+x与1-x两个值关于1是对称的，而所对应的函数值却相等，所以说明函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

问题4：(1)函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于________对称.

(2)函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于________对称.

答案：(1)直线x=0(y轴)；

(2)直线x=1.

分析(1)：函数y=f(1+x)的图象可以看作是由函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的；函数y=f(1-x)的图象可以看作是由函数y=f(-x)向右平移一个单位得到的，而函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称，所以会得到结论.

分析(2)：函数y=f(x-1)的图象可以看作是由函数y=f(x)的图象向右平移一个单位得到的；函数y=f(1-x)的图象可以看作是由函数y=f(-x)向右平移一个单位得到的，而函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称，均向右平移后会关于直线x=1对称.

问题5：(1)若函数y=f(3x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象的对称轴是________.

(2)若函数y=f(x)是偶函数，则函数y=f(3x+1)的图象的对称轴是________.

分析(1)：将函数y=f(3x+1)的图象上所有点的横坐标都拉伸为原来的三倍、纵坐标不变，会得到函数y=f(x+1)的图象，此时对称轴仍为y轴，然后再将图象向右平移一个单位就会得到函数y=f(x)的图象，此时对称轴变为直线x=1.

问题6：(1)若函数y=f(x)为偶函数，则下列结论成立的是________.

A.f(x+1)=f(-x-1)

B.f(x+1)=f(-x+1)

(2)若函数y=f(x+1)为偶函数，则下列结论成立的是________.

A.f(x+1)=f(-x-1)

B.f(x+1)=f(-x+1)

答案：(1)A；(2)B

分析(1)：既然函数y=f(x)为偶函数，则互为相反数的两个量x+1与-x-1被对应法则f作用，所得的函数值相等，故选A.

分析(2)：设F(x)=f(x+1)，则F(x)为偶函数，所以有F(-x)=F(x)，即f(-x+1)=f(x+1)，故选B.

问题7：定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b与函数y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是________ .

答案：关于直线y=x+a+b对称.

分析：y=f(x+a)+b可看作是由y=f(x)的图象变换得到：y=f(x)→y=f(x+a)→y=f(x+a)+b，y=f(x)的图象先向左平移a个单位，再向上平移b个单位；y=f-1(x+a)+b可看作是由y=f-1(x)的图象变换得到：y=f-1(x)→y=f-1(x+a)→y=f-1(x+a)+b，y=f-1(x)的图象先向左平移a个单位，再向上平移b个单位，由于函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，所以平移时对称轴的位置也随之发生变化，所以函数y=f(x+a)+b与y=f-1(x+a)+b的图象关于直线y=x+a+b对称.

由此我们可以体会：无论给出的抽象函数的形式有多么复杂，它总可以由最基本的函数y=f(x)的图象变换得到，掌握了这个通法，便可以解决这种类型的问题.

问题8：对于函数y=f(x)：①f(x)为偶函数；②f(x)的图象关于直线x=a对称；③f(x)是以T=2a为周期的周期函数.

对于这三个性质y=f(x)任意满足两个，可否推出第三个一定成立呢？

答案：①②⟹③，①③⟹②，②③⟹①

分析：①②⟹③：

因为函数f(x)的图象关于直线x=a对称,

所以f(a+x)=f(a-x)，所以f(-x)=f(2a+x).

又因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),

所以f(x)=f(2a+x),

所以函数y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数.

①③⟹②：

因为函数y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数,

所以f(x)=f(x+2a).

又因为函数y=f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x).

所以f(-x)=f(x+2a)，将等式中所有的x换成x-a可得到f(a-x)=f(a+x),

所以f(x)的图象关于直线x=a对称.

②③⟹①：

因为函数f(x)的图象关于直线x=a对称,

所以f(a+x)=f(a-x)即f(-x)=f(2a+x),

又因为函数y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数.

所以f(x)=f(x+2a),所以f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数.

问题9：将问题8中的①改为奇函数，②不变，③将怎样变化？对于这三个性质y=f(x)任满足两个，可否推出第三个一定成立呢？

答案：③将变为：f(x)是以T=4a为周期的周期函数.

且只有①②⟹③成立，其他两个不成立，可举反例说明.

分析：①②⟹③：

因为函数f(x)的图象关于直线x=a对称,

所以f(a+x)=f(a-x)即f(-x)=f(2a+x).

又因为函数y=f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x),

所以f(2a+x)=-f(x)，

所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x),

所以函数y=f(x)是以T=4a为周期的周期函数.

举反例：函数y=tanx的图象特征可以说明①③不能推出②；函数y=sinx+1的图象特征可以说明②③不能推出①.

河北省沧州市第一中学)