“超级全能生”2018高考全国卷26省9月联考乙卷(A)

“超级全能生”2018高考全国卷26省9月联考乙卷(A)

理科数学

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|y=log2(4-x)},B={x|x2-2x-3gt;0},则A∩B=

( )

A.(3,4) B.(-∞,-1)

C.(-∞,4) D.(3,4)∪(-∞,-1)

( )

3.下列说法正确的是

( )

A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4.”的否命题是“若x2-3x-4=0,则x≠4.”

B.agt;0是函数y=xa在定义域上单调递增的充分不必要条件

C.∃x0∈(-∞,0),3x0lt;4x0

D.若命题P:∀n∈N,3ngt;500,则┐P:∃n0∈N,3n0≤500

4.《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的一段话“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之.”用程序框图表示如图,那么这个程序的作用是

( )

A.求两个正数a,b的最小公倍数

B.求两个正数a,b的最大公约数

C.判断其中一个正数是否能被另一个正数整除

D.判断两个正数a,b是否相等

( )

A.a+b=2cB.a+blt;2c

C.a+b≤2cD.a+b≥2c

( )

A.16 B.12 C.8 D.-4

7.学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生,将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位学生,每个学生至少获得一幅,则在所有送法中甲得到名画“竹”的概率是

( )

8.一个几何体的三视图如图所示,则其表面积为

( )

( )

10.若正四棱锥P-ABCD内接于球O,且底面ABCD过球心O,设正四棱锥P-ABCD的高为1,则球O的体积为

( )

( )

( )

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

16.若存在实数a∈R，使得关于x的不等式x|x-a|lt;b在[1,2]上恒成立,则实数b的取值范围是________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(12分)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.

18.(12分)

如图1,四边形ABCD为等腰梯形,AB=2,AD=DC=CB=1,将△ADC沿AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,E为AB的中点,连接DE，DB.

(Ⅰ)求证：BC⊥AD；

(Ⅱ)求直线DE与平面BCD所成的角的正弦值.

19.(12分)

某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间,分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取6部进行测试,其结果如下：

甲种手机供电时间(小时)191821222320乙种手机供电时间(小时)1817．520232222．5

(Ⅰ)求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差,并判断哪种手机电池质量好；

(Ⅱ)为了进一步研究乙种手机的电池性能,从上述6部乙种手机中随机抽取4部,记所抽4部手机供电时间不小于20小时的个数为X,求X的分布列和数学期望.

20.(12分)

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)直线l：y=x+m与E相交于A,B两点,在y轴上是否存在点C,使△ABC为正三角形,若存在,求直线l的方程；若不存在,请说明理由.

21.(12分)

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；

(Ⅱ)若P为圆C上的一动点,求|PA|2+|PB|2的取值范围.

23.[选修4-5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集；

【参考答案】

1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D

17.解：(Ⅰ)设数列{an}的前n项和为Sn.

(1分)

当n≥2时，4Sn=(an+1)2，∴4Sn-1=(an-1+1)2，

即(an+an-1)(an-an-1-2)=0，

(4分)

又angt;0，∴an-an-1=2，

∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

即an=2n-1.

(6分)

(Ⅱ)∵bn=(2n-1)·2n，

∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n， ①

2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1， ②

(8分)

①-②得

-Tn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1

=2-8+2n+2-(2n-1)×2n+1

=-6+2n+1(2-2n+1)

=-6+2n+1(3-2n)，

∴Tn=6+2n+1(2n-3).

(12分)

18.解：(Ⅰ)证明：在图1中，作CH⊥AB于点H，

图1

∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面ADC，

(6分)

(Ⅱ)取AC的中点F，连接DF，FE，易得FA，FE，FD两两垂直，

以FA，FE，FD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图2所示，

图2

设m=(x，y，z)为平面BCD的法向量，

设直线DE与平面BCD所成的角为θ，

(12分)

因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好.

(6分)

(Ⅱ)6部乙种手机供电时间不小于20小时的有4部，小于 20小时的有2部，

所以X的可能取值为2，3，4，则

故X的分布列为

X234P25815115

(12分)

(4分)

(Ⅱ)存在.把y=x+m代入E的方程得3x2+4mx+2m2-4=0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

(7分)

设AB的中点为P，

(12分)

21.解：(Ⅰ)f′(x)=a+1+lnx(xgt;0)，

由f′(x)gt;0，得xgt;e-a-1，由f′(x)lt;0，得0lt;xlt;e-a-1，

∴f(x)在(0，e-a-1)上单调递减，在(e-a-1，+∞)上单调递增.

(3分)

∴f(x)min=f(e-a-1)=e-a-1(a+lne-a-1)

∴a=0.

(5分)

(Ⅱ)证明：当agt;0，xgt;0时，

(8分)

由g′(x)gt;0，得0lt;xlt;1，由g′(x)lt;0，得xgt;1，

∴g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.

(12分)

22.解：(Ⅰ)把圆C的参数方程化为普通方程为(x-2)2+(y-2)2=2，

即x2+y2-4x-4y+6=0，

由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，

得圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0.

(5分)

A，B的直角坐标分别为(-1，0)，(1，0)，

所以|PA|2+|PB|2的取值范围为[6，38].

(10分)

其图象如图所示，

由图可知f(x)≥3的解集为{x|x≤0或x≥2}.

(5分)

(10分)