天体力学问题求解的两条基本思路及其运用

河北

赵宝菊

天体有奥妙，求解有思路。

天体力学问题求解的两条基本思路及其运用

赵宝菊

天体之间的作用力，主要是万有引力。而行星和卫星的运动，可近似看作匀速圆周运动，万有引力即是行星、卫星做匀速圆周运动的向心力。尽管万有引力定律知识点不多,但需要用万有引力定律处理的习题题型却很多,如计算天体的质量、天体的密度、天体的重力加速度、天体运行的速度等，且综合性较强。历年来高考在天体力学中考查的重点主要是解决有关天体运动的问题，题型以选择题居多，但近年也会出现计算题来考查这个知识点，考生往往感到很困难，故非常值得关注。

一、天体质量、密度等基本物理量的计算

天体质量、密度等是天体的基本物理量，对于研究天体的性质以及应用，具有重要的意义，所以确定天体的质量、密度等基本物理量，是我们首先应该掌握的。

【例1】在某星球上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重量为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T，根据上述数据，得出该星球的质量为

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而对砝码有F=mg，

【答案】C

【点评】本题中，如果宇航员能够测出其绕该星球运动的周期和离开该星球的高度，并已知该星球的半径，即可求得飞船运动的速度大小，以及该星球的质量和平均密度。但由于不知道飞船的质量，故飞船运动时的向心力不能求得。类似地，已知某行星的半径以及绕该行星表面运行的卫星周期，即可求得行星的质量和行星表面的重力加速度，但不能求得行星的自转周期和行星的同步卫星的轨道半径。同样，已知月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1，或者已知人造地球卫星在地面附近的运行速度v和运行周期T3，均可计算出地球的质量M地(引力常数G为已知)，如果仅已知地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2或者地球“同步卫星”离地面的高度，则不能完成地球质量的计算。

【例2】某物体在地球赤道上受到的重力是它在两极处受到重力的n倍(n<1)，设地球自转周期为T，万有引力常量为G，地球可视为规则球体，求地球的平均密度。

二、地球同步卫星问题

【例3】“神舟十一号”载人飞船于2016年10月17日7时 30分在中国酒泉卫星发射中心发射，经过长达33天的飞行时间，于2016年11月18日下午顺利返回着陆。与地球同步卫星相比

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A.“神舟十一号”的轨道半径大

B.“神舟十一号”的线速度大

C.“神舟十一号”的周期长

D.“神舟十一号”的加速度大

【答案】BD

三、变轨问题

【例4】探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获，先进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图1所示。之后，卫星在P点又经过两次变轨，最后在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。对此，下列说法不正确的是

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图1

A.卫星在轨道Ⅲ上运动的速度小于月球的第一宇宙速度

B.卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道Ⅰ上短

C.卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度大于沿轨道Ⅰ运动到P点时的加速度

D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种轨道运行相比较，卫星在轨道Ⅲ上运行的机械能最小

【答案】C

四、三种宇宙速度

1.第一宇宙速度(环绕速度)：v1=7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度；

2.第二宇宙速度(脱离速度)：v2=11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；

3.第三宇宙速度(逃逸速度)：v3=16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

【例5】2016年8月16日，我国科学家自主研制的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”成功发射并进入预定圆轨道。已知“墨子号”卫星运行轨道离地面的高度约为500 km，地球半径约为6 400 km，则该卫星在圆轨道上运行时

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A.速度大于第一宇宙速度

B.速度大于地球同步卫星的运行速度

C.加速度大于地球表面的重力加速度

D.加速度大于地球同步卫星的向心加速度

【解析】由于卫星的运动速度大小随轨道半径的增大而减小，而第一宇宙速度是卫星绕地球表面运动的速度，所以第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大速度。由此可见，该卫星在圆轨道上运行时速度必定小于第一宇宙速度，同时大于地球同步卫星的运行速度，即选项A错误，B正确；而卫星的运动加速度大小随轨道半径的增大也减小，所以该卫星在圆轨道上运行时，加速度小于地球表面的重力加速度，但是大于地球同步卫星的向心加速度，即选项C错误，D正确。

【答案】BD

五、双星系统模型

如果两颗星彼此相距较近，靠相互之间的万有引力绕同一圆心做匀速圆周运动，称为双星。且两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等；圆心在两颗行星的连线上，且两星的轨道半径之和等于两星间的距离，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比。双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关。

【例6】在天文观测中，因为观测视角的问题，有时会看到一种比较奇怪的“双星”系统：与其他天体相距很远的两颗恒星，在同一直线上往返运动，它们往返运动的中心相同，周期也一样。模型如图2所示，恒星A在A1A2之间往返运动，恒星B在B1B2之间往返运动，且A1A2=a,B1B2=b，现观测得它们运动的周期为T，恒星A、B的质量分别为M、m，万有引力常量G，则

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图2

河北省故城县育才中学)

从价值观的角度看科学概念的力量在于它具有解释和概括一大类自然现象的能力。在这方面能量概念的作用十分独特。