改进CST方法在翼型优化设计中的应用

高 永，朱飞翔，李 冰，于方圆，王玉伟

（海军航空大学，山东烟台264001）

改进CST方法在翼型优化设计中的应用

高 永，朱飞翔，李 冰，于方圆，王玉伟

（海军航空大学，山东烟台264001）

形状类别函数变换（Class-Shape Transformation，CST）方法是近年来发展起来的一种新型气动外形参数化方法，该方法具有良好的鲁棒性，且涉及参数少、精度高，结果简单直观等特点，被广泛应用于翼型设计研究中。文章结合某小型无人机设计的工程实践，探讨了CST方法在小型无人机翼型设计中的应用，在借鉴他人研究成果的基础上，决定采用Bernstein多项式构建形状函数，分析了Bernstein多项式阶数对CST方法拟合精度的影响。仿真结果表明，当BPO＞4时，拟合精度能够达到满意的要求，可用于该型无人机翼型的设计与优化。

形状类别函数变换；翼型设计；参数化；多项式

近年来，低成本的小型无人机以其重量轻、体积小、结构简单、灵活机动等特点，在军用、民用领域得到快速发展。翼型设计是飞行器设计过程中的一个重要环节，其性能的优劣直接影响到飞机的气动性能和飞行品质。因此，研究翼型设计技术，适应无人飞行器快速发展的需求具有重要意义[1-2]。本文根据某小型无人机设计要求，采用形状类别函数变换（Class-Shape Transformation，CST）方法，在选择现有翼型的基础上进行优化设计，实现了翼型的快速设计与优化，为翼型的快速设计进行了有益的探索。

1 CST方法的基本原理

机翼、尾翼是飞机赖以产生升力、保持平衡的重要部件，而翼型则是机翼、尾翼设计的基础。翼型表示方法是翼型设计过程一个重要领域，翼型参数化方法的选取影响着所选取翼型设计方法的合理性[3-6]。近年，Kulfan等提出并发展起来的形状类别函数变换（Class Function/Shape Function Transformation，CST）方法以其良好的鲁棒性，且涉及参数少、精度高、结果简单直观等特点，被广泛地用于翼型设计研究中[7-10]。该方法使用一个用来定义几何外形种类的类别函数，和一个用来对类别函数所形成的基本外形进行修正的形状函数来表示翼型。形如

式（1）中：ψ=x/c；ξ=z/c；ζTE=zTE/c，其中，zTE为后缘厚度（若zTE=0，则表示翼型后缘封闭，有ζTE=0），c为翼型弦长，x、z分别为翼型的x轴、z轴坐标。

C(ψ)即类别函数，定义为：

当N1、N2取不同的值组合时，可以定义不同几何外形类别的翼型。美国国家航空咨询委员会（NACA）系列圆头尖尾翼型、双圆弧翼的类别函数见图1。

S(ψ)为形状函数，由式（1）、（2）得到：

S(ψ)是在2个极值之间描述翼型形状的解析函数，可控制翼型前缘到后缘之间的曲线形状，可使用不同的方法表示。翼型前缘半径和翼尾夹角与形状函数在区间[0，1]两端处的极限值分别表示翼型前缘和后缘的值：

式（4）中：RLE为翼型前缘半径；β为翼型后缘点处的切线倾角；zTE为翼型的后缘厚度。

因此，可以得到CST方法表示圆前缘和尖后缘翼型的通用解析函数为：

分别使用2个上述解析函数表示翼型上表面和下表面曲线，使用CST参数化方法，可将通用翼型表示为：

式（6）中：zu、zl分别为翼型上表面和下表面曲线；为设计变量。

2 关键参数的计算说明

如何选择和构建形状函数S(ψ)是使用CST方法的重要工作，一定程度上决定翼型设计的成败[11-13]。文献[2]的研究结果表明：基于Bernstein多项式的CST参数化方法对设计参数的突变振荡具有一定的过滤能力。因此，本文采用Bernstein多项式构建形状函数S(ψ)。

n阶Bernstein多项式的定义式为：

式（7）中，二项式系数的表达式为：

通过加权，可以得到形状函数：

式（9）中：i和n分别为多项式中的指数和阶数；vi(i=0,1,…,n)为引入的加权权重，称为形状函数系数，它们一般作为设计变量，组成n+1阶系数向量v。

在翼型的优化设计中，通常使用最小二乘法拟合原始翼型得到形状函数系数和的初始值。然后，将和作为设计变量，在设计空间里改变它们的大小获得气动特性最优的翼型形状[14-18]。

由以上的分析可知，建立CST参数化方法描述的翼型几何外形，需要确定的控制参数为类函数中的N1和N2，形状函数系数vi(i=0,1,…,n)，翼型的后缘厚度zTE。因此，对于一般的圆前缘尖后缘翼型（N1=0.5，N2=1），用基于Bernstein多项式的CST参数化方法描述翼型上下表面坐标最终可表示为：

3 Bernstein多项式阶数对CST方法拟合精度的影响分析

研究表明，Bernstein多项式阶数对CST方法拟合精度的影响比较大。在一定范围内，使用高阶的Bernstein多项式定义形状函数可以有效地提高CST参数化方法对几何外形的表示精度，但是过高阶的多项式的阶数将使参数化过程病态化。为了确定Bernstein多项式的阶数，根据式（10），本文在不同阶数的Bernstein多项式下采用最小二乘法对对称翼型NACA0012、弯度翼型RAE2822和本文的选用的小型无人机翼型Clark Y进行拟合。通过对这3种翼型进行CST参数化建模，研究Bernstein多项式的阶数与CST方法拟合精度的关系。拟合精度用翼型上下表面纵轴坐标的残差衡量：

式（11）中：ru、rl分别为翼型上下表面的拟合残差；分别为拟合翼型的上下表面纵坐标；分别为原始翼型的上下表面纵坐标。

拟合结果如图2所示。从这3种翼型的各阶拟合残差图2可看出：几何拟合精度随Bernstein多项式阶数的增加而增大。当BPO＞4时，拟合精度基本达到满意的要求。随着阶数的继续增大，精度提高的空间变小，残差值基本保持在某一微小范围内变化很小。而Bernstein多项式阶数越高，设计变量数目也越多，翼型优化设计的成本将会增大。因此，综合考虑精度要求和优化成本，选择5阶Bernstein多项式进行翼型的优化设计。

而对于Clark Y翼型，当Bernstein多项式阶数较低（BPO＜6）时，上下表面横坐标0点附近的残差绝对值较大，比NACA0012和RAE2822翼型高出一个数量级，这表明用基本CST参数化方法对Clark Y翼型的前缘拟合精度相对较低。产生的原因为：①Clark Y翼型不同于其他2种翼型，它属于上凸下平型，上下表面前缘附近的曲率变化较大，用较低阶的CST方法对其前缘拟合效果不佳；②采用的类函数参数为N1=0.5和N2=1，这对于大多数的NACA系列的翼型时适用的，但对于其他系列的翼型可能会导致较大误差。

为了保证采用5阶CST方法拟合Clark Y翼型具有较高的精度，参考文献[1]的研究成果，本文对CST方法进行了改进，将N1和N2也作为未知量，对形状函数系数和N1、N2进行最小二乘优化求解，以期解决基本CST参数化方法对Clark Y翼型的前缘拟合精度相对较低的问题。

4 算例

分别用5阶的基本CST方法和改进CST方法拟合Clark Y翼型。通过最小二乘优化求解，得到改进CST方法中的翼型上表面类函数参数为，下表面类函数参数为。

上下表面曲线拟合残差对比图（见图3）显示，基本CST方法翼型前缘处的最大残差值为1.95×10-3，而改进CST方法的最大残差值为5.5×10-4，表明改进方法的拟合精度有了大幅度的提升。

从图4的翼型对比中可以看出，改进CST方法的拟合曲线更贴近原始翼型。

对2种方法的拟合翼型和原始翼型进行CFD气动特性分析，计算的翼型弦长为0.451 m，来流速度为15 m/s，迎角为4°。图5为2种方法的拟合翼型与原始翼型计算得到的压力分布对比，也可以看出基本CST方法拟合翼型在翼型前缘附近的压力值与原始翼型相差较大，而改进CST方法拟合翼型得到的数据曲线基本与原始翼型重合。

以上分析表明，用5阶Bernstein多项式的改进CST参数化方法能够很好地满足Clark Y翼型的几何外形拟合精度和气动计算精度，满足该小型无人机翼型快速设计的需要。

5 结论

翼型设计是飞行器设计的重要环节。本文结合某小型无人机设计的工程实践，探讨了CST方法中关键参数的计算方法，研究了Bernstein多项式阶数对CST方法拟合精度的影响，满足设计精度的同时避免了病态问题的出现，较好地满足了该型无人机翼型设计的需求。

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Application of Improved CST Parametric Method in Airfoil Design

GAO Yong,ZHU Feixiang,LI Bing,YU Fangyuan,WANG Yuwei
（Naval Aviation University,Yantai Shandong 264001,China）

Class-shape transformation(CST)is a new airfoil parameterization method developed in recent years.Because of the good robustness and rare parameters involved,high precision,simple structure and so on,it is widely used in airfoil design and research.Based on the engineering practice of a small UAV,the application of CST method in the design of small UAV airfoil was discussed.And the influence of Bernstein polynomial order on the fitting accuracy of CST method was analyzed.The simulation results showed that the modified CST parametric method of Bernstein polynomial could satisfy the geometric shape fitting precision of Clark Y airfoil well under the condition of BPO＞4,and could be used to design and optimize the UAV’s airfoil.

class shape transformation;airfoil design;parameterization;polynomial

V279；V221+.92

A

1673-1522（2017）05-0426-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.05.002

2017-02-16；

2017-07-22

“泰山学者”建设工程专项基金资助项目

高 永（1973-），男，副教授，博士。