例谈初中数学的分类讨论意识的培养与运用

王明

摘 要：分类讨论思想是把所考虑的对象分成若干个不同的情形下或条件下分别进行研究和求解的一种数学思想方法。初中数学初涉这种思想方法，因此培养学生分类讨论思想方法的意识和运用具有十分重要的意義。

关键词：分类讨论；问题解决；数学教学

分类讨论思想是将复杂问题简单化的一个重要方法，即将一个综合性较强，思路较复杂的问题分解成若干个中不同情况下或不同条件下的单一问题，从而使得复杂问题简单化。近年来，中学数学教材的不断改革，素质教育下教学逐步走向注重生活问题与初中数学知识的紧密联系。例如出租车计费问题，家庭水电煤费的缴纳，个人所得税的缴纳以及医保报销费等等，无不蕴含着分类讨论的数学思想。而这些对初次接触的初中生来讲无疑是个难题，思路难理清，方法不到位，解答过程凌乱。那么，作为一线教师该如何培养学生的分类讨论的意识，以及如何有条理地分类，清晰地解答，是我们一线教师需要考虑和解决的问题。

一、 从生活实际入手，培养分类讨论的意识

例1 某城市按以下规定收取每月的水费：用水量不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费.如果某用户5月份缴了水费11.2元，那么该用户5月份用水量为多少？

分析：这是一个生活中阶梯收费的问题，与实际生活联系紧密，其中分类计算的需求也很自然，很明显。计算时，需要考虑用水量是否超过还是不足6吨。分类讨论的实际运用是一种生活实例对不同情况下的要求，也是我们为更加有利于实际问题的解决所采用的一种手段。我们在平时的教学过程中需时时与生活联系，将分类讨论的意识“润物细无声”地交给学生。

二、 寻找分类讨论的出发点，培养学生思维的严密性

例2 当a为何值时，函数y=（a-1）x2+2x-3与x轴有交点？

分析：1. a=1时，一次函数y=2x-3与x轴必有交点；2. a≠1时，为二次函数，当Δ=4+12（a-1）=0，即a=23时，与x轴有且仅有一个交点；当Δ>0，即a>23时，与x轴有2个不同的交点；当Δ<0，即a<23时，与x轴无交点。以上分类从函数这一概念入手条理清晰，教学过程符合学生的认知顺序，能让学生较自然地理解，思维简明清晰，解答过程亦能顺畅书写。教学中需让学生认识到“函数”这一概念是分类讨论的出发点，而到了二次函数则考查Δ的情况是一种常规思路。

例3 （例题教学）证明：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

教学设计：1. 我们在进行教学的时从图（1）的特殊情况入手：因为OA=OC，所以∠A=∠C，所以∠BOC=∠A+∠C=2∠A，所以∠A=12∠BOC。2. 思考与讨论：如图（2），BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？提问：设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC=12∠BOC还成立吗？试证明之。

分析：如图（3），连接AO并延长交圆O于点D，则根据三角形外角和定理和上面图（1）的情形知：∠BOC=∠BOD+∠DOC=2∠BAD+2∠DAC=2（∠BAD+∠DAC）=2∠BAC，所以∠BAC=12∠BOC；如图（4），延长BO交圆O于点E，连接CE，易证∠BAC=∠BEC=12∠BOC。以上分析从圆心O在∠BAC一边上这种特殊位置开始，分为点O在∠BAC的内部和外部，需添加辅助线，转化为第一种特殊位置证明的方法给予证明。这样的分类从特殊入手，过渡到一般情形，学生较容易能理解和接受。难点在于图（3）图（4）的情况需要思考周全，不能遗漏。紧接着，在此基础上，我们可以进一步拓展到圆外角、圆内角和圆周角的大小关系，亦是把圆周角看做特殊情形，推广到圆外角和圆内角。

拓展题1 如图（5），点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。

拓展题2 如图（6），点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。

此两题的解答需要添加辅助线，构造相关的圆周角进行解答，读者可自己尝试。

三、 充分运用分类讨论思想，提升学生的综合素养

中考试题中，很多题目是集方程、函数和几何知识于一体的综合题，要求学生熟悉初中的知识体系的前提下能整体把握试题，洞悉问题的本质。于是，分类讨论在其中就起着十分重要的作用。

例4 （2015年苏州27）如图，已知二次函数y=x2+（1-m）x-m（其中0

（1）求∠ABC的度数；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

分析：（1）（2）略。（3）在（2）的基础上得出P点的坐标为-1+m2，1-m2。先判断出△PAC是等腰直角三角形，因为以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，所以△QBC是等腰直角三角形。 由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）。于是分两种情况来解答：①如图①，当Q点的坐标为（-m，0）时，（1）若PQ与x轴垂直，则-1+m2=-m，解得m=13，PQ=13。（2）若PQ与x轴不垂直，则PQ2=PE2+EQ2=1-m22+-1+m2+m2=52m2-2m+12=52m-252+110。

∵0

此题的解答在于分析出点Q可在x轴和y轴上两种情形，但对于每种情况下继续分为PQ与x轴垂直和PQ与x轴不垂直时，即使是部分优秀学生也会遗漏掉PQ与x轴垂直这种情形。因此，问题分析时需从特殊到一般的思考模式。

这道综合题涉及几何背景下的方程，函数和不等式的综合运用，要想很好地解答，学生必须要有较强的分析问题的能力，同时要求学生的思维层次清晰分明。这就要求我们教师在中考复习中，对于综合题的教学要求较高，将最简洁、清晰的思路教给学生，学会分析问题的方法，提升数学的综合素养。

结束语

分类讨论思想的培养与运用，对学生提升问题分析，把握及解决问题的能力起着极其重要的作用，从而提升学生对数学的综合素养教育，使其有能力将一个复杂的问题分解成若干个简单熟悉的问题，让自身有一种似曾相识的亲切感，轻而易举地解答，感受数学的精妙思维方法作用于生活和学习的精彩。