围绕学生的真实思维展开深度对话

曾军辉

2016年秋，湖南省长沙市教育学科研究院数学教研员张新春老师一行来湖南省临武县（以下简称“我县”）送培，作为承办学校，我们数学组上了一堂研究课——人教版六年级上册“工程问题”第一课时。我们通过“情境导入——阅读与理解——分析与探究——回顾与反思——应用与拓展”等教学环节教学了这一内容。但是在教学过程中我们发现了很多困惑和一些值得研究的问题。2017年又要上“工程问题”一课，我们怎样才能解开去年的一个个疑惑，让课堂点燃生命的火种？我们怎样才能释放孩子们思维的活力，让课堂闪耀着智慧的光芒？我们怎样才能绽放孩子们生命的活力，让个性在课堂中飞扬？我们需要继续研读文本，我们需要走进孩子心灵，我们需要不断探寻课堂密码。

一、案例与困惑

（1）在多次试教中我们发现，题目中工作总量是具体的数量时，同学们会根据平均分的原理，用工作总量除以工作效率求工作时间，工程问题中的数量关系式很容易提炼。然而，通过阅读理解例题，学生发现道路的长是未知时，仅有少数同学会想到用假设道路为一定长度，先算出每队每天修路长度（每队的工作效率），再算出两队合修一天的长度（工效和），然后计算合修需要的天数。

我们在关注学生知识基础和生活经验的同时，怎样才能让更多的孩子在工程问题的学习中体验到数学学习带来的快乐？

（2）我们还发现：通过分析理解，在小组合作交流中，孩子们把全长假设一个具体的数量，然后去计算合修时间。在这一环节中，如果没有“探究卡”，很多组的合作效率非常低下；用了“探究卡”后，表面上学生们能算出两队合修需要的天数，其实为什么要按“探究卡”上的四个步骤去算？为什么要假设？孩子们缺少自己的思考，学习很被动，这样的教学过程缺少创造力，学生的思维没有得到有效的发展。

我们在学生学习过程中关注主体地位是否凸显的同时，怎样在工程问题中引发学生思考、发展学生思维？

（3）在人教版小学数学五年级“鸡兔同笼”问题中，学生熟悉了假设法。在本单元，同学们已经熟练掌握了分数应用题分析问题的思维方式，容易想到把一件工程看作一个整体（单位“1”），从而用几分之一来表示某队每天修这条道路的分率。

既然学习假设法不是这节课的重点，那么我们在关注学生可能的认知难点和障碍的同时，这节课的教学情境如何创设？教学目标应该如何定位？

二、调查与分析

带着这些思考，为了全面了解学生的学情，笔者与同年级的老师进行了讨论研究，并且在另一个尚没有教学这一内容的班级进行了笔试和访谈调查。

1. 前测题目

（1）修一条200m长的小路，甲队每天修40m，乙队4天修完，哪个队修得快？

（2）修一条小路，甲队每天修，乙队4天修了一半，哪个队修得更快？

2. 测试分析

参加测试的同学有42人，第1题做对的有36人，全对的有29人，占总数的69%。测试后，我对7位同学进行了访谈，只有两位同学表示，第二题没有告诉全长，所以做不出。统计情况如下：

第一题：23人用200÷40=5天，5天>4天，乙修得快。

12人用200÷4=50米，50米>40米，乙修得快。

1人用40×4=160米，200米>160米，乙修得快。

第二题：12人用×4=，>，所以甲修得快。

9人用÷4=，<，所以甲修得快。

4人用1÷=6（天），4×2=8（天），6<8，所以甲修得快。

3人用÷=3天，3<4，所以甲队修得快。

第一题正确率特别高，这说明学生们能通过比工作时间和比工作效率或假设的方法比较生活中简单的工程问题。因此，学生们已经对工程问题中，工作总量、工作效率和工作时间有了初步的认识并会简单运用。

第二题，学生们能有四种不同的方法解答本题，这是我们始料未及的，这充分说明许多学生们能用分数应用题的策略，利用类比、化归、迁移的方法解决简单的工程問题。这让我们进一步研究工程问题充满信心和期待。

经过反复研讨，我们将这堂新课的教学目标设定为：

①掌握工程问题中工作总量、工作效率、工作时间三个量之间的数量关系，能选择合适的方法解决一般性工程问题。

②在解决工程问题时，培养学生根据情境提出数学问题的能力，提高学生解决工程问题的能力，使学生感受到数学源于生活更运用于生活。

③通过让学生提问，让学生经历合作学习、发现数学问题、自主探究问题的过程，提高学生研究数学问题的兴趣，获得积极的情感体验。

④培养学生认真倾听、积极思考、讨论交流、对比分析等良好的学习习惯和“大问题”意识。

三、教学片段

1. 创设问题情境

课件出示：我县新一中占地300余亩，建成后将为我县提供5000多个就读学位，大大缓解我县校园面积小、学位不足等问题。眼看就要开学了，校长遇到一个新问题：校园两侧与北侧的几条道路需要平整、硬化，通过测量，有1200米长，经过调查，有两个工程队的技术很好，并且价格比较便宜。甲队每天可修80米，乙队10天可修完。

根据以上信息，你能提出哪些数学问题？

（课堂观察：用身边的事例编写的情境让同学们感受到数学就在身边，培养孩子热爱家乡的积极情感。同时培养同学们用数学的眼光去思考、分析生活中的问题的习惯和能力。）endprint

2. 小组合作学习

师：4人一个学习小组，共同讨论：可以提出什么数学问题？小组长安排一个同学记录讨论结果。写出两个数学问题的组可以派两个代表把讨论成果写在黑板上。

3. 提炼数学问题

生1：甲队独修，几天可以修完？①

生2：两队合修，几天可以修完？②

师：对这两位同学的提问，你有何看法？

生3：这两位同学提的问题都是求时间。

生4：第二位同学想到了合修，能节约修路的时间，便于学校早日上课。

（课堂观察：学生从不同的方向进行观察，努力获得各种发现并记录下来，不同的学生有着不同的智力水平、认知结构和思维方式，他们头脑中理解和表达的数学带有明显的个性色彩，这些不同层次的理解恰好是推动教学走向深度的能量。）

师：不错！真会为校长排忧解难，我替校长感谢你们组，哪些组也提了这个问题？

师：你们都是未来的好校长！哪个组还有不同的问题吗？（好几个组举了手）

师：哪个组有两个或更多的数学问题么？（又有一个组）

师：请你们组派两个同学把你们的数学问题写出来，并编上序号。（生上台）其余同学认真看，黑板上写的问题与你们提的问题是否一样？如果有不一样的，请及时举手，另外，在观察他人所提问题的同时，如果你在他们的问题中受到启示，又想出了不同的问题，请在草稿纸上记录下来或举手，及时与大家分享。

（课堂观察：很多创新思维都是缘自他人成果的类比与迁移，让学生们从观察中学会赏识他人，在思考中探寻更有价值的数学问题，思维的磁场活跃起来。）

生5：乙队每天可修多少米？③

生6：乙队每天可修全长的几分之几？④

看到生6的问题，又有同学有了新的启发。

生7：甲队每天可以修全长的几分之几？⑤

师：（问生7），你是怎么想到这个问题的？

生7：就是受到生6的启发，他用分率表示乙队每天的工作量，所以可以用分率表示甲队每天的工作量。

又有个孩子举起了自信的小手。

生8：乙队每天比甲队多修多少米？

师做凝惑表情。有几个同学鼓掌表示赞同。

师：你为什么赞同他提的问题？

生9：因为乙10天修完，乙队每天可修120米，这说明乙队比甲队修得快。所以可提问：乙队每天比甲队多修多少米？

（同学们豁然开朗，在老师没来得及表扬学生时，又有学生举手。）

生10：乙队每天比甲多修几分之几？

（课堂观察：这个问题同学们可能有两种理解：①乙队每天修的长度比甲队多甲队的几分之几。②乙队每天修的长度比甲队多了全长的几分之几。这么好的课堂生成资源不能浪费。）

师：谁明白了这个问题问的是什么意思？

生11：他是问乙队每天修的长度比甲队修的多几分之几。

生12：两队修的长度都可以用分率表示修了全长的几分之几。乙队每天修全长的，甲队每天修全长的。我觉得他应该是问乙队每天修的分率比甲队每天修的分率大几分之几。

师：谢谢两位同学独特的理解和精彩的发言。我们再来听一听生10的问题指的是什么意思，好吗？

生10：我本来想问乙队每天修的120米比甲队每天修的80米多几分之几。没想到生12理解成了-的差。

师：是不是这个问题有两个答案呢？

生13：我覺得“乙队每天比甲多修几分之几”指的就是将甲队每天修的看作“单位1”。所以生10的理解是对的。

师：那生11的理解呢？

生13：不对！因为与都是以全长为单位“1”，它们的差还是以全长为单位“1”，不是以甲为单位“1”，所以不对。

（课堂观察：小组交流提问后，学生一步步打破了交流的壁垒，踊跃表达自己的发现。一时间学生的口头表达、板书以及生生之间的对话反馈形成了一个多层次、全方位的立体信息网络。其间学生养成的表达、倾听、修正、容纳的品质，让课堂闪耀出价值的光芒。）

4. 解决核心问题

（1）选取最有价值的数学问题。

师：说得太精彩了！同学们发现没有，在提问的过程中，我们不仅发现了许多新问题，同时也发现了别人不同的提问题的角度。在对比中，又提出了新问题。认真倾听、积极思考、对比分析都是我们学习好的方法。还有同学又想到了问题，太棒了！我们已经有了这么多问题，让我们先整理整理，解决一部分好么？在这9个问题中，你认为对校长最有价值的是哪一个问题？

生齐：问题②（两队合修，几天可以修完？）。

课件出示：修1200米的路，甲队每天可修80米，乙队10天可修完，两队合修，多少天可以修完？

师：那么，其余的问题我们是不是可以擦去了？

生14：我认为不能擦，因为很多问题对解决第2个问题有帮助。

师：说得好，这么多问题，我们就按序号一个一个解决，好么？

生15：不行，我觉得我们先把对解决问题②有作用的先选出来，再从容易的入手，便于解决最有价值的问题。

师：有选择的放弃是智者的放弃，有放弃的选择是智者的选择。

生选取问题①、③、④、⑤

（2）梳理工程问题的数量关系。

课件出示表格：

解决问题①、③时，理出数量关系（板书数量关系和课题）：工作总量÷工作效率=工作时间；工作总量÷工作时间=工作效率。

（3）比较两种工作效率的含义，进一步认识工程问题。

解决问题④、⑤时求出：甲、乙每天修全长的几分之几后追问：这个还是工程问题中的量么？

生15：我认为是的，因为表示乙队每天修的占全长的，它可以表示乙队的工作效率。endprint

师：同学们对生15的说法有什么看法？

生16：我有点疑惑，每天修120米是乙队的工作效率，这个又是乙队的工作效率，同一个队怎么会有两个工作效率呢？

生15：是将全长120米看作单位1，所以每天修的占全长的，这个也是表示每天做的。

生17：对了，生15是把工作总量看作单位“1”，所以乙队的工作效率就是。

（师在主标题后加：把工作总量看作单位“1”。）

（课堂观察：交流和分享的过程也是互相启发的互补过程，每个学生之间的想法在交流的过程中就是在不断碰撞，并产生了许多思维的火花。对于个体来说，新的想法和关键点带给原有观念以冲击，原有的观念被适当吸收，观念之间通过相互作用，原有的认知被修正、扩大、提升，学生对工作效率的理解更全面而又深刻。）

（4）尝试解答：两队合修，几天可以修完？

生写在草稿本中，教师巡视指导。

（5）反馈、对比、交流。

四、总结与反思

1. 创设有生活、有文化、有问题的情境激发学生学习兴趣，引发数学思考

数学给人的印象往往是抽象的、枯燥的。基于小学生年龄的特点，为了激发学生学习兴趣，根据县一中将要开学这一事例，创设“校长的困惑”这一问题情境容易让学生们产生研究的关注点，让学生们感受到知识的价值，培养学生们热爱家乡，奋发学习，报效祖国的积极情感。“根据情境，你能提出哪些数学问题？”这一富有挑战性的问题，学生们不仅感受工程问题的模型，培养了提出问题的能力，在帮助校长解决问题的过程中也体会到数学学习的价值。

2. 围绕 “大问题”教学，培养孩子们的“大问题”意识

本节课以解决“校长的困惑”这一问题为突破口，以解决学生们提出的一个个问题为线索，围绕“怎样才能尽快修好一中的道路”这个大问题，直指工程问题的本质，在学生们的问题中涵盖工程问题的合作效率、合作时间等基本概念和基本数量关系，工程问题一课的重点难点在解决学生们的一个个问题的解决过程中不断引出，在孩子们的比较、辨析中探究出求合作时间的两种方法，有效解决了“校长的困惑”，学生们的问题意识得到有效培养，发散思维能力与创造思维能力不断提高。

3. 如何处理算法多样化

在得出有两种不同的方式可以表示工作效率时，学生们已经感觉到有两种求合作时间的思路，方法没有优劣，教师积极引导学生们用自己认为简单、合理的方法就行。学生们在轻松、和谐的课堂氛围中尝试计算，在与他人分享计算方法中认识两种方法的特点，在比较与回顾环节进一步理解两种工作效率的本质特点。（一个表示具体的数量，一个表示单位时间做了总量的几分之几。）

面对不一样的算法，教师不应过于追求算法的数量，也不用刻意比较哪种方法更优越，要通过引导、回顾、比较、反思，明确不同算法的联系与区别，进一步建構知识体系，让学生们理解不同算法的价值，收获成长的喜悦。

（作者单位：湖南省临武县第三中学小学部）endprint