等差数列的前n项和Sn的最值问题的研究

■河南省沈丘县第一高级中学 谢志远

等差数列的前n项和Sn的最值问题的研究

■河南省沈丘县第一高级中学 谢志远

数列是一类特殊的函数,因此,数列不仅具备函数的性质,且可以用函数的知识或方法来解决数列的问题。在研究等差数列时,等差数列前n项和Sn的最大值问题是其中的一个热点,也是重点。

问题1:在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )。

A.S15B.S16

C.S15或S16D.S17

解析:a1=29,S10=S20,10a1+解得d=-2。

所以当n=15时,Sn取得最大值。

【变式一】若将条件“a1=29,S10=S20”改为“a1＞0,S5=S12”,如何求解?

解法1:设等差数列{an}的公差为d,由S5=S12得,5a1+10d=12a1+66d,解得d=

因为a1＞0,n∈N*,所以当n=8或n=9时,Sn有最大值。

解法2:设等差数列{an}的公差为d,同解法1得

又n∈N*,所以当n=8或n=9时,Sn有最大值。

解法3:设等差数列{an}的公差为d,同解法1得d=-

由于Sn=na1+设f(x)=则函数y=f(x)的图像为开口向下的抛物线,由S5=S12知,抛物线的对称轴为(如图1所示)。

图1

由图可知,当1≤n≤8时,Sn单调递增;当n≥9时,Sn单调递减。又n∈N*,所以当n=8或n=9时,Sn最大。

【变式二】若将条件“a1=29,S10=S20”改为“a3=12,S12＞0,S13＜0”,如何求解?

解析:因为a3=a1+2d=12,所以a1=12-2d。

解法1:由d＜0可知{an}为递减数列,

因此,在1≤n≤12中,必存在一个自然数n,使得an≥0,an+1＜0。

此时对应的Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值。

解法2:由d＜0可知{an}是递减数列,令

所以5.5＜n＜7,故n=6,即S6最大。

由上例可总结求等差数列前n项和Sn的最值的方法:

1.二次函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值。

2.图像法:利用二次函数图像的对称性来确定n的值,使Sn取得最值。一般地,等差数列{an}中,若a1＞0,且Sp=Sq(p≠q),则:①若p+q为偶数,则当n=时,Sn最大;②若p+q为奇数,则当n=或n=时,Sn最大。

3.转折项法:当a1＞0,d＜0时,满足的项数n,使Sn取最大值;当a1＜0,d＞0时,满足的项数n,使Sn取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小,若有零项,则使Sn取最值的n有两个。

(责任编辑 徐利杰)