特殊值法——高中数学解题的一剂“良方”

■山东省莱芜一中2015级 刘雨如(指导教师:王玉玲)

特殊值法
——高中数学解题的一剂“良方”

■山东省莱芜一中2015级 刘雨如(指导教师:王玉玲)

特殊值法作为解题的利器,主要是借助特殊情境的创设或者特殊值的选取来达到丰富解题条件、降低解题难度的目的,尤其是对于某些选择题或者缺乏解题条件的题目,采用特殊值法可能会取得意想不到的效果。

一、转换角度,变换思路

涉及角度的数学题目是高中数学的重要组成部分,其涵盖了证明题、求解题等多种类型。如果可以借助特殊值法的合理应用,适当地对相关角度进行变换,那么可以大大简化相应题目,降低其解题难度。

例1已知锐角△ABC的三边分别为a、b和c,三个角度分别为A、B和C,且其中那么可知

解析:这是一道涉及“角边”的数学题目,且已知三角形为锐角三角形,剩余的已知条件为边角之间的关系。

一般计算流程:6abcosC=a2+b2,6ab由三角形的边角关系以及其同三角函数之间的关系知同样进行适当变化得继续进行简化得sinAsinBcosC=

由上述一般计算流程可知:该题的求解难度比较大,实际求解非常费时费力,且很难得到正确答案。而如果采用特殊值法,假设A=B,那么可以将已知条件中的三角形转换为等腰锐角三角形,从而有助于简化题目中的已知关系,减少计算出错概率,达到快速求解的目的。

二、构造函数,优化解题

构造函数法在多种类型的数学题目中均具有很强的应用性,尤其是在不等式方面。

例2已知-2≤a≤2,不等式ax2-2x-a+1＜0恒成立,试求x的取值范围。

解析:将ax2-2x-a+1＜0进行适当变换,可知a(x2-1)-2x+1＜0,此时可以根据x的取值来进行适当变化,具体可以划分成三种情况来进行分别讨论。①当x=1时,可知-2×1+1=-1＜0,原不等式成立;②当x=-1时,可知-2(-1)+1=3＞0,原不等式不成立;③当x≠±1时,构造一次函数f(a)=a(x2-1)-2x+1,可知当-2≤a≤2时,f(a)＜0恒成立,此时存在f(-2)＜0和f(2)＜0,可知

本题求解的突破口在于结合相应问题的特征来合理构造一次函数,借助一次函数的性质来进行求解,这样可以有效地避免分类讨论过程中出现的繁杂性,优化解题过程。

三、特殊定位,化难为易

从理论上来讲,高中数学知识涉及广泛的规律和原则,问题处理的方法也比较多。但在实际的问题求解中,多数同学常常倾向于采用最基本、最常见的方法来处理。针对涉及“变化的量”方面的数学问题时,如果继续采用传统方法,那么就显得比较繁杂,此时如果采用特殊值法来定位相应的变量,然后再配合相关数学思想和方法,那么就可以快速地求解了。

(责任编辑 赵 平)