全国名校《解三角形》专题（A卷）答案与提示

全国名校《解三角形》专题（A卷）答案与提示

一、选择题

1.A 2.A 3.C 4.D 5.B 6.C 7.C 8.A 9.D 10.B 11.A 12.C

13.A 提示:设线段AC的中点为点D,则直线OD⊥AC。因为所以又x+2y=1,所以点O、B、D三点共线,即点B在线段AC的中垂线上,则AB=BC=3。在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=

15.D 提示:由题意设BC=x(x＞1),AC=t(t＞0),依题意设AB=AC-0.5=t-0.5,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos60°,即t(-0.5)2=t2+x2-tx。化简并整理得t=即t=x-1+因x＞1,故t=x-1++2≥2+3,当且仅当x=1+时取等号,故t的最小值为

16.A 提示:设A,B,C的对应边分别为a,b,c,由可知P为BC的中点。结合题意及正弦定理可得故而不共线,故a-c=c-b=0,a=b=c。

17.B

18.A 提示:由sin(A-B)=cosC,得sin(A-B)=sin

19.B

20.C 提示:显然A、P两点关于折线MN对称,连接MP,可得AM=PM,则有∠BAP=∠APM。设∠BAP=θ,∠BMP=∠BAP+∠APM=2θ,再设AM=MP=x,则有MB=2-x。在△ABP中,∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ,则∠BPM=120°-2θ。又∠MBP=60°,在△BMP中,由正弦定理知即

因为0°≤θ≤60°。所以0°≤120°-2θ°≤120°,当120°-2θ=90°时,即θ=15°时,sin(120°-2θ)=1。此时x取得最小值且∠AMN=75°,则AM的最小值为

21.C 22.D 23.D

二、填空题

33.①②④

三、解答题

39.(1)因为a2+b2=6abcosC,由余弦定理知a2+b2=c2+2abcosC,所以cosC=又sin2C=2sinAsinB,则由正弦定理得c2=2ab,所以cos又因为C∈(0,π),所以C=

40.(1)由2cosC(acosB+bcosA)=c及正弦定理得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC⇔2cosCsin(A+B)=sinC⇔2cosCsinC=sinC。因为C∈(0,π),所以

(2)根据余弦定理,得a2=b2+c2-2bc·=b2+c2+bc=b2+(2-b)2+b(2-b)=(b-1)2+3。又由b+c=2,知0＜b＜2,可得3≤a2＜4,所以a的取值范围是

43.(1)依题意得PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12。

(2)作PD⊥AC于点D,在△ADP中,由cos∠PAD=得sin∠PAD=

44.(1)由2acosB=2c-b得2sinAcosB=2sinC-sinB,化简得则A=60°。

又b=5,解得c=8。

故m=2(cosBsinC+sinBcosC)=2sin(B+C)=2sin

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,所以a2+c2=5。因此

46.(1)因为A=120°,所以C=60°-B。由cosB=3sinC得cosB=3sin(60°-B,即cosB=3sinB,从而tanB=又0°＜B＜60°,所以B=30°,C=60°-B=30°,所以AB=AC=2。

故sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,sin(C-A)=sin(B-C)。

所以C-A=B-C或C-A=π-(BC)(不成立),即2C=A+B,C=

a=2RsinA=sinA,b=2RsinB=sin B,设

b=c=2。

51.(1)证明过程略。

(2)λ=2。

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(责任编辑 徐利杰)