珠联璧合，正、余弦定理解三角形

■河南省许昌高级中学 胡银伟

珠联璧合，正、余弦定理解三角形

■河南省许昌高级中学 胡银伟

正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积,其外接圆、内切圆的半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据。

在利用正、余弦定理解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则两个定理要珠联璧合,有可能都会用到。

一、求三角形的基本量

解析:设△ABC的内角∠BAC,B,C所对边的长分别是a,b,c。

由余弦定理得:

在△ABD中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B。

解法一:设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c。

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=所以b=

解法二:同法一得由正弦定理得sinC=sinA,又B=所以sinC=即cosA+故tanA=-3,A为钝角。

又因为1+tan2A=所以cos2A=故选C。

(2016·四川卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且

(1)证明:sinAsinB=sinC;

(2)若b2+c2-a2=求tanB。

解析:(1)根据正弦定理,可设则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC。

变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)。

在△ABC中,根据A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC。

所以sinAsinB=sinC。

(2)由已知,b2+c2-a2=根据余弦定理,有

由(1)知,sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以

点评:利用正、余弦定理解题是历年高考的热点,也是必考点,求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化。其中正弦定理是一个连比等式,只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的。运用余弦定理时,要注意整体思想的运用。

二、解与三角形的面积有关的问题

△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积S=(b+c)2-a2,则sinA=

解:由余弦定理得cosb2+c2-a2=2bccosA。

S=(b+c)2-a2=b2+c2-a2+2bc=2bc(cosA+1)。

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asinB=-b·

(1)求A;

解:(1)因为asin所以由正弦定理得

故a2=b2+c2-2bccosA=7c2,则a=由正弦定理得sin

点评:正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要交替使用。应用时要注意化角法、化边法、面积法、初等几何法等方法的灵活运用,也要注意体会其中蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想。

三、正、余弦定理与三角问题的综合应用

(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足c=3,f(C)=0且sinB=2sinA,求a,b的值。

解:(1)f(x)=

因为sinB=2sinA,所以b=2a。

因为c2=a2+b2-2abcosC,所以

(2015·全国课标Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是

解法一:如图1所示。

过点C作CE∥AD交AB于点E,则∠CEB=75°,CE=BC=2,∠BCE=30°。

图1

所以BE2=BC2+CE2-2BC·CE·cos∠BCE=4+4-8×此时,BE=

延长CD交BA的延长线于点F,则△BCF为等腰三角形,且∠CFB=30°,FC=FB。

由题意可知,6-2＜AB＜6+2。

解法二:如图2所示,延长BA、CD交于点E。

在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°。

图2

点评:关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口。此外,在解三角形时,还要注意三角形内角和定理对角的范围的限制。如例7,解法一是借助几何图形分析极端情况,得到AB边的取值范围;解法二则是借助两个定理建立函数关系,通过代数方法进行求解。

(责任编辑 徐利杰)