压电智能结构振动的一致性PID(CPID)控制

白 亮， 冯蕴雯， 薛小锋

(西北工业大学 航空学院，西安 710072)

压电智能结构振动的一致性PID(CPID)控制

白 亮， 冯蕴雯， 薛小锋

(西北工业大学 航空学院，西安 710072)

将一致性控制方法和PID控制方法的基本思想相结合，提出了一种适用于压电智能结构振动控制的一致性PID(Consensus-PID，CPID)控制方法。该方法将系统输出偏差作为PID控制器的输入，PID控制器的输出及其在采样周期内的变化量作为一致性控制器的输入，致动器的输入电压为一致性控制器的输出。推导压电智能结构振动控制方程，以两边简支的压电智能梁为数值算例，建立动力学有限元模型，数值结果表明 CPID控制方法能够有效控制压电智能结构的振动，当某些传感器失效时，对比集中式PID控制，系统在CPID控制下仍然能保持较好的控制效果。

一致性控制；PID控制；压电智能结构；振动控制

一致性控制方法在分布式参数系统中有着广泛的应用，Demetriou[1]提出了一种基于自适应一致性控制的过滤器设计方法，并将其应用于由多个传感器组成的分布式参数系统中；Motee等[2]将一致性控制方法应用于空间分布式参数系统结构的优化控制；Mu等[3]应用一致性控制方法设计了两种过滤器，并将其应用于空间分布式参数系统的状态评估。压电材料作为致动器、传感器粘贴在柔性结构表面或嵌入于柔性结构内部，成为压电智能结构[4]，压电智能结构是一类分布式参数系统[5]，广泛应用于柔性结构振动控制领域[6-7]。

近年来，国内外学者对压电智能结构振动控制中常用的PID(Proportional Integrative Derivative)控制方法进行了较为深入的研究。其中，Jaensch等[8]将高增益PID位移反馈控制器用于控制系统中，研究了新方法的控制效果和控制稳定性。Li等[9]将一种改进的PID控制方法应用于飞行器气动噪声的抑制。Zhang等[10]针对薄墙智能结构提出了一种改进的PID控制法。另外，其它主动控制方法也被用于压电智能结构的振动控制，如PPF(Positive Position Feedback)控制[11]，自适应控制[12]，基于模糊逻辑的控制方法[13]等。而上述方法都是集中式控制，在集中式控制中，一个特定的控制器以固定形式或自适应动态形式存在，集中式控制器计算出全部致动器所需的输入信号，所有的致动器和传感器直接与控制器连接。对于由多组离散分布的致动器/传感器粘贴在柔性结构表面所组成的压电智能结构，在集中式控制下若某一传感器失效或误读，与其同组的致动器无法输出控制力或输出错误控制力，这会对系统的振动控制产生不利影响。解决办法是用分散式控制代替集中式控制，将集中式控制器替换成若干个分散的、有一定相对独立性的子控制器，每个子控制器和一组致动器/传感器组成一个子控制系统，将一致性控制的基本思想应用于分散式控制系统中，根据一致性协议将若干个子控制系统组成网络，使得各个子控制器的输出信号可以相互传递，若某一个子控制系统的传感器失效或误读，其它正常工作的子控制系统会将其控制器的输出信号传递给无法正常工作的子控制系统，使其致动器工作。图1对比了集中式控制、一致性控制的不同之处。

Sahasrabudhe等[14]已经提出可以将一致性控制用于压电智能结构的振动控制，并建立了一致性控制系统框架，但是并没有给出具体的控制方法和建模过程。为了克服上述集中式控制的局限性，将一致性控制方法和PID控制方法的基本思想相结合，提出了一种适用于压电智能结构振动控制的一致性PID(Consensus-PID,CPID)控制方法，以系统输出偏差作为PID控制器的输入，以PID控制器的输出及其在采样周期内的变化量作为一致性控制器的输入，以一致性控制器的输出作为致动器的输入电压，实现对压电智能结构的振动控制。由线弹性压电智能结构有限元方程推导系统振动控制方程。用ANSYS参数化语言编写了压电智能结构振动控制分析的有限元程序，数值仿真结果证明了CPID控制方法能够有效控制压电智能结构的振动，当某些传感器失效时，对比于集中式PID控制，系统在CPID控制下仍然能保持较好的控制效果。

1 压电智能结构的CPID控制方法

在实际应用中，传感器通常只能获得各采样时刻的测量值，因此系统输出偏差是不连续的。设采样周期为T，将离散的采样时刻用总的工作时间表示为

t=k×T(k=0,1,2,…)

(1)

式中，k为采样序号。

压电智能结构CPID控制系统中有N个传感器、N个PID控制器和N个致动器，如图2所示。Fu为作用在压电智能结构上的外部干扰力载荷；Fa为致动器产生的反馈控制力；ri(k)为第k次采样时传感器(i)的期望输出电压；φi(k)为第k次采样时传感器(i)的实际输出电压；xi(k)、vi(k)分别为第k次采样时经过PID控制器(i)放大后的输出电压及其在采样周期内的变化量；Xi(k)和Vi(k)分别为经过一致性控制后的xi(k)和vi(k)；Xi(k)同时也为致动器(i)的输入电压，其中i=1,2,…,N，k=0,1,2,…。

图2 压电智能结构CPID控制原理框图Fig.2 The CPID control block diagram of piezoelectric smart structures

以传感器输出电压为反馈信号，定义传感器(i)所在位置的输出偏差为

ei(k)=0-φi(k) (i=1,2,…,N)

(2)

式中：φi(k)为第k次采样时传感器(i)的实际输出电压。

对于时间离散的系统，经过PID控制器(i)放大后的输出电压可以近似表示为

(3)

式中：KiP、KiI、KiD分别为PID控制器(i)的比例、积分、微分系数；T为采样周期。

二阶系统一致性与一阶系统一致性的区别在于二阶系统要同时考虑位置和速度，根据一致性协议通过控制智能体的加速度来控制速度，通过速度的变化以达到间接控制位置的目的。应用二阶系统一致性控制方法，系统中要达到一致性的变量有两个，即PID控制器的输出电压xi(k)及其在采样周期内的变化量vi(k)。第k次采样时，PID控制器(i)输出电压在采样周期内的变化量为

vi(k)=xi(k+1)-xi(k)
(k=0,1,2,…;i=1,2,…,N)

(4)

二阶系统一致性协议[15]表示为

(5)

式中：lij为通信拓扑图的拉普拉斯矩阵L中的元素；k1、k2为比例参数，其数值的选取要满足振动控制系统的稳定性条件。

L=D-A

(6)

式中：D为通信拓扑图的入度矩阵；A为通信拓扑图的邻接矩阵。

假设：一致性控制在一个采样周期内进行，且vi(k)经过一个采样周期的一致性控制后仍然用于第k次采样的计算

Vi(k)=vi(k)+μi(k) (k=0,1,2,…；i=1,2,…,N)

(7)

经过一致性控制后，致动器(i)的输入电压可以表示为

Xi(k+1)=xi(k)+Vi(k) (k=0,1,2,…；i=1,2,…,N)

(8)

将式(4)、式(5)、式(7)代入式(8)整理后可得

(9)

当传感器(i)因为失效而无法输出信号时，式(9)可以表示为

(10)

由式(10)可知，当传感器(i)失效时，通过一致性协议，正常工作的PID控制器的输出信号会传递给致动器(i)，使其工作。

2 压电智能结构振动的CPID控制方程

考虑结构阻尼，压电智能结构全局有限元动力方程[16]为

(11)

式中：ui、φi分别为整体坐标系下节点的位移和电压；Muu、Cuu、Kuu、Kuφ(Kφu)、Kφφ分别为结构整体质量、阻尼、刚度、力电耦合刚度、介电刚度矩阵；Fu和Fφ分别为整体坐标系下的力荷载向量和电荷载向量。

将式(11)中的第二个方程代入式(11)的第一个方程中，可得用节点位移形式表示的压电智能结构有限元动力方程

(12)

致动器的输入电压与电荷载之间的关系为

Fφ=GaXi(k)

(13)

式中，Ga为反馈控制增益。

将式 (9)、式(13)代入式(12)可得，在传感器(i)正常工作时，用节点位移表示压电智能结构振动的CPID控制方程为

(14)

将式(10)、式(13)代入式(12)可得，在传感器(i)因为失效而无法输出信号时，用节点位移表示压电智能结构振动的CPID控制方程为

(15)

3 算 例

压电智能梁由一个简支梁和对称粘贴在简支梁上下表面的四组致动器/传感器组成，致动器/传感器位置参数如图3所示。简支梁几何参数为：576 mm×25.4 mm×0.8 mm；致动器/传感器几何参数为：72 mm×25.4 mm×0.61 mm，致动器和传感器的材料为PZT-5H，简支梁结构为铝质材料，材料属性见表1，Fu=0.1 N为作用在压电智能梁结构中点P的瞬时荷载，从图3可知，同组的致动器(i)/传感器(i)和PID控制器(i)连接，其中i=1,2,3,4，为了计算结果与集中式PID控制的计算结果相比较，四个PID控制器的比例、积分、微分系数相同，比例系数KP=12.5、微分系数KI=0.02、积分系数KD=0.001。PID控制器(i)输出信号根据通信拓扑图进行传递，如图4所示。

假设致动器/传感器与简支梁之间为理想粘贴，不发生相对剪切运动，传感器(3)不会失效。用SOLID45单元模拟金属铝材料，SOLID5单元模拟压电材料PZT-5H，将每个致动器/传感器划分为：8×8×1个单元，简支梁划分为：64×8×1个单元，用命令CP分别耦合致动器和传感器上下表面节点的电自由度，与简支梁相粘贴的致动器下表面和传感器上表面电学边界条件定义为0 V。系统的瑞利阻尼系数很小为：α=β=0.000 5。传感器信号的采样周期[17]为：T=1/(20fh)，其中fh为压电智能梁的一阶无阻尼自振频率。

图3 压电智能梁示意图Fig.3 Schematic of the piezoelectric smart beam

表1 压电智能梁材料属性

图4 通信拓扑图Fig. 4 Schematic of communication topology

取式(5)中的比例参数：k1=0.3，k2=0.5。对算例进行数值计算之前要验证所选取的比例参数满足系统稳定的条件。不考虑结构阻尼时，在压电智能梁结构中点P设定一个初始位移，然后令其自由振动，点P位移响应如图5(a)所示。为了便于观察振动收敛情况，取0.777 906～9.988 764 s的位移响应，如图5(b)所示。可知此时系统是不稳定的，这是因为在信号传递的过程中，可能会使某些致动器的输入电压过大，致动器产生较大的控制力，这个控制力的一部分用于结构振动控制，额外的部分可能产生新的外部扰动。结构阻尼达到一定值时，即使存在这个新的外部扰动，系统仍然可以保持稳定。当结构阻尼系数α=β=0.000 087时，点P位移响应如图5(c)所示。取0.777 906～9.988 764 s的位移响应，如图5(d)所示。可知此时系统是稳定的。因为算例中结构的瑞利阻尼系数α=β=0.000 5gt;0.000 087，所以比例参数取k1=0.3，k2=0.5时该系统稳定。

图5 点P位移响应Fig.5 Displacement response of the point P

传感器都正常工作时，系统在瞬时荷载Fu作用下，点P位移响应，如图6(a)所示。四个致动器输入电压的变化范围，如图6(b)所示。由图6(a)可知，对比于集中式PID控制，系统在CPID控制下的收敛速度较快。由图6(b)可知，在集中式PID控制下，致动器(2)的输入电压最大(最大输入电压为134.063 V，最小输入电压为-80.154 V)且大于在CPID控制下致动器(2)的输入电压，而致动器(1)和致动器(4)的输入电压较小且小于在CPID控制下致动器(1)和致动器(4)的输入电压，说明致动器(2)在集中式PID控制下产生的控制力较大，但是致动器(1)和致动器(4)在集中式PID控制下产生的控制力较小。集中式PID控制下，致动器(2)是在一种满状态或超负荷状态下工作，而致动器(1)和致动器(4)并没有满状态工作，没有充分发挥自身的作用。系统在CPID控制下所有致动器输入电压均较大，说明各个致动器均可以产生较大的控制力，而且可以避免某些致动器在满状态或超负荷状态下工作，在CPID控制下系统可以将电能更合理的分配给每个致动器，各个致动器之间通过相互协作共同完成任务，而不是仅依靠某些致动器的满状态或超负荷工作完成任务。

图7(a)～图7(c)为压电智能梁结构中点P在瞬时荷载作用下，传感器(1)、传感器(2)、传感器(4)分别失效时，点P位移响应，图7(d)～图7(f)为传感器(1)和传感器(2)、传感器(1)和传感器(4)、传感器(2)和传感器(4)分别失效时，点P位移响应。对比于集中式PID控制，当某些传感器失效时，系统在CPID控制下的收敛速度较快。用对数衰减公式计算系统的阻尼比ξ，计算结果如图8所示。对比于集中式PID控制，在CPID控制下系统的阻尼比ξ较大。以全部传感器正常工作时，集中式PID控制下系统的阻尼比为参照值，对比不同条件下系统的阻尼比可知：当传感器(2)失效时，在集中式PID控制下，系统的阻尼比大幅下降仅为参照值的58.2%，在某些关键位置的传感器失效时，系统的振动控制效果大幅降低，在CPID控制下，系统的阻尼比可达到参照值的82.8%，控制效果有较大幅度的提升；当有一个传感器失效时，系统在CPID控制下，平均实现参照值88.2%的控制效果，与集中式PID控制下78.4%的控制效果相比，有较大的提升，当有两个传感器失效时，系统在CPID控制下，平均实现参照值76.5%的控制效果，与集中式PID控制下57.7%的控制效果相比，有大幅的提升，说明传感器失效的越多，对比集中式PID控制，CPID控制方法的控制效果越好。

图9列出系统在不同方法控制下和不同工作条件下，所有致动器中的最大输入电压Vmax和最小输入电压Vmin，对比于集中式PID控制，系统在CPID控制下所有致动器中的最大输入电压Vmax较小且最小输入电压Vmin较大，在振动控制过程中，若输入电压过大则致动器可能被击穿，说明在CPID控制下系统可以将电能更合理的分配给各个致动器，避免某些致动器输入电压过大，在有效控制压电智能梁振动的同时对致动器起到了一定的保护作用。

(a) 点P位移响应

(b) 致动器输入电压

图7 一个或两个传感器失效时点P位移响应Fig.7 Displacement response of the point P

图8 系统的阻尼比Fig.8 System damping ratio

表2列出不同工作条件下，系统阻尼频率ωd的计算结果，与系统一阶无阻尼自振频率4.435 Hz相比，在集中式PID控制和CPID控制下系统的阻尼频率都有不同程度的降低，通过与图8所示系统的阻尼比计算结果相对比，系统的阻尼比ξ越大，系统阻尼频率ωd越小。

图9 所有致动器中的最大输入电压和最小输入电压Fig.9 The maximum input voltage and the minimum input voltage of all the actuators

表2 系统的阻尼频率

为了进一步验证CPID控制方法对压电智能结构振动控制的有效性，考虑全部传感器正常工作的条件下，在压电智能梁结构中点P分别施加简谐荷载和随机荷载，对系统强迫振动进行数值仿真，其中简谐荷载函数为：f(t)=0.1 cos(9πt)。图10(a)为压电智能梁在简谐荷载作用下，点P的位移响应，无控制时点P位移响应的均方根值为3.17×10-3，在CPID控制下位移响应的均方根值为0.82×10-3，可知在CPID控制下点P的位移响应降低了74.1%，图10(b)为压电智能梁在随机荷载作用下，点P的位移响应，无控制时点P位移响应的均方根值为0.65×10-3，在CPID控制下点P位移响应的均方根值为0.29×10-3，可知在CPID控制下点P的位移响应降低了55.4%。通过比较发现CPID控制对简谐荷载和随机荷载下压电智能结构的振动控制效果显著。

图10 简谐荷载和随机荷载作用下点P位移响应Fig.10 Displacement responseof the point P under a harmonic and random force excitations

4 结 论

将一致性控制方法与PID控制方法的基本思想相结合，提出了一种适用于压电智能结构振动控制的一致性PID(Consensus-PID,CPID)控制方法。用ANSYS参数化语言编写了压电智能结构振动控制分析的有限元程序，进行数值仿真。研究结果表明：

(1)CPID控制方法对压电智能结构的振动控制是有效的，提高了集中式PID控制的收敛速度。

(2)当压电智能结构中某些传感器失效时，对比于集中式PID控制，系统在CPID控制下仍然能保持较好的控制效果，失效的传感器越多，CPID控制方法的优势越明显。

(3)对比于集中式PID控制，系统在CPID控制下致动器的最大输入电压Vmax较小且最小输入电压Vmin较大，对致动器起到了一定的保护作用。

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AconsensusPID(CPID)controlalgorithmforvibrationcontrolofpiezoelectricsmartstructures

BAILiang，FENGYunwen，XUEXiaofeng

(SchoolofAeronautics，NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi’an710072，China)

By combining the idea of PID control and the consensus control algorithm, a new consensus-PID (CPID) control algorithm was proposed, which was used for vibration control of piezoelectric smart structures. In this new approach, the inputs of PID controllers were the system output errors. The outputs of PID controllers and their variations in the sampling period were treated as the inputs of the consensus controller. The input voltages of each actuator were the outputs of the consensus controller. The vibration control equations of piezoelectric smart structures were derived from the finite element dynamic equations of a linear elastic piezoelectric smart structure. The CPID control algorithm was numerically investigated for the smart structure, i.e., a piezoelectric smart beam that was simply supported at its both sides. The finite element model of a piezoelectric smart beam for vibration control was established by ANSYS. Numerical results demonstrate that the CPID control law can successfully control the vibration of the piezoelectric smart structure. Comparing with the centralized PID control algorithm, the new CPID control approach can maintain higher performance for vibration control in the system of piezoelectric smart structures, even though some sensors fail.

consensus control; proportional integrative derivative control; piezoelectric smart structure; vibration control

国家自然科学基金资助(10577015)

2016-04-18 修改稿收到日期： 2016-09-09

白亮 男，博士生，1987年生

冯蕴雯 女，博士，教授，1968年生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.030