列车动力荷载作用下大跨度斜拉桥局部振动响应研究

朱志辉， 程玉莹， 龚 威， 蔡成标， 郭向荣

(1.中南大学 土木工程学院，长沙 410075；2.中南大学 高速铁路建造技术国家工程实验室，长沙 410075；3.西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，成都 610031)

列车动力荷载作用下大跨度斜拉桥局部振动响应研究

朱志辉1，2， 程玉莹1， 龚 威1， 蔡成标3， 郭向荣1

(1.中南大学 土木工程学院，长沙 410075；2.中南大学 高速铁路建造技术国家工程实验室，长沙 410075；3.西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，成都 610031)

为研究列车动力荷载引起的大跨度斜拉桥主梁和桥面板局部动力响应，基于车-桥耦合动力学理论建立了列车-轨道-斜拉桥空间耦合动力学模型。采用固定界面模态综合法和等效正交异性板法建立大跨度斜拉桥精细化三维有限元模型，车辆简化为具有二系悬挂的31自由度弹簧-质量模型，轮轨关系采用可分离的三维轮轨滚动接触模型。以主跨为1 092 m的沪通长江大桥为例，研究了轨道不平顺激励条件下高速列车行驶引起的桥面板和主桁架梁的动力响应特征及分布规律。研究结果表明：固定界面模态综合法既可以有效减少模型自由度数目，又可以反映桥梁局部动力响应；等效正交异性板法虽能较好地反映桥面板的局部振动，但由于没有考虑等效前后主梁整体刚度的一致性，故所计算的主梁振动位移偏差较大；由于桥面板局部竖向刚度较小，桥梁行车线正下方的桥面板竖向加速度远大于主梁桁架节点竖向加速度，建议我国相关铁路桥梁规范在评估大跨度板桁斜拉桥振动加速度时，考虑桥面板局部振动的影响；列车动力荷载作用下主梁桁架杆件应力冲击系数较小，动力效应不显著。

固定界面模态综合法；局部动力响应；大跨度斜拉桥；车-桥耦合振动；轮轨接触

随着我国高速铁路的快速发展，大跨度铁路斜拉桥得到广泛应用[1]。为降低桥梁自重，提高主梁空间刚度，大跨度斜拉桥通常采用正交异性钢桥面板和钢桁架相结合的板桁结构形式[2-3]。正交异性钢桥面板采用纵、横梁支撑体系，局部采用加劲肋提高桥面竖向刚度，导致沿桥梁纵向桥面板刚度不连续，局部刚度小。当直接承受车辆动力荷载时，正交异性钢桥面板局部冲击作用显著[4]，过大的桥面振动会影响轨道结构稳定性和行车安全[5]；同时，列车动力荷载作用下的桥梁局部应力状态，对于准确评估局部疲劳损伤至关重要[6-9]。

大跨度斜拉桥由于整体自振频率低，其车-桥耦合振动一直是重要研究问题[10]。虽然Bruno等[11-12]针对大跨度斜拉桥开展了深入的车-桥耦合动力响应研究，但是以往研究主要关注桥梁整体动力响应，对于桥面板及主梁桁架杆件的局部动力响应研究还不够完善。

目前，研究动力荷载作用下正交异性桥面板局部动力响应主要有现场实测[13]和数值计算方法[14-15]。前者由于试验成本过高且受环境、试验等诸多因素的制约，部分学者采用有限元数值方法开展研究。瞿伟廉等以新建铁路铜九线鄱阳湖特大桥钢桁桥段为研究对象，将列车荷载简化为移动荷载，研究了桥梁正交异性桥面板局部细节处的应力时程。这种方案虽然可以简化计算分析难度，但无法准确反映桥梁和列车间的动力相互作用。Li等利用Abaqus软件采用显示动态分析方法，研究了板桁斜拉桥无砟轨道的竖向振动响应。Zhang等采用等效正交异性板法模拟带加劲肋的钢桥面板，以东海大桥为数值算例，研究了其静力和动力特性。Biondi等采用子结构法研究了简支梁桥在列车动力荷载下的振动响应，证明子结构法能有效减少桥梁模型自由度数目。

相比高速铁路常用的预应力混凝土简支梁桥和连续梁桥而言，开展大跨度板桁斜拉桥车致局部振动分析主要存在以下几个问题：①常用的鱼骨模型和主梁模型将主梁用一根或多根梁来等效简化，无法准确反映桥梁的局部构造[16]；②当考虑正交异性板精细化建模时，车-桥耦合系统整体模型自由度规模庞大导致计算量过大；③以往研究中常用的振型叠加法虽然可以降低计算规模，但是由于忽略了局部高阶振型而难以考虑结构局部高频动力响应[17]；同时，由于难以考虑轨道结构的阻尼，所以无法准确将桥梁和轨道结构作为一个系统模型来模拟[18]。

针对上述问题，本文采用固定界面模态综合法建立考虑轨道结构的斜拉桥整体动力有限元模型，并与直接刚度法相结合建立桥梁动力方程；根据车-桥耦合动力学理论，开展列车-轨道-桥梁耦合系统动力响应分析。最后，以沪通长江大桥主航道大跨度斜拉桥为例，深入探讨了大跨度斜拉桥正交异性钢桥面板和桥梁主梁桁架的局部动力响应问题，并将其与等效正交异性板法建立的模型进行了对比分析。

1 正交异性桥面板数值模拟方法

1.1 等效正交异性板法

由于加劲肋的存在，当正交异性板按实际构造划分有限元网格时，往往导致过多的单元和自由度数目。通常依据刚度等效原则，采用等效正交异性板法建立桥梁动力有限元模型，如图1所示。

图1 等效前/后正交异性板Fig. 1 The orthotropic plate before/after equaled

首先，根据等效后正交各向异性板的抗弯刚度与原始带加劲肋桥面板保持一致的原则，则有

(1)

式中：d为等效后正交异性板的厚度；Ex和Ey分别为x和y方向等效的弹性模量；Ix和Iy分别为垂直于x和y方向单位宽度板的惯性矩；E为原始桥面板弹性模量；x方向为桥梁纵向；y方向为桥梁横向。

其次，等效后的正交异性板和原始桥面保持一致的纵向刚度、剪切刚度和质量

Exd=EA，Gxyd=Gt，ρed=ρA

(2)

式中：A为单位宽度桥面板的面积；Gxy为等效后正交异性板的剪切刚度；t为原始桥面板厚度；G为原始桥面板剪切刚度；ρe为等效正交异性板密度；ρ为原始桥面板密度。

1.2 固定界面模态综合法

固定界面模态综合法将整体结构划分成若干个子结构分别进行动力分析，然后组装得到整体结构的动力响应[19]。每一个子结构包括内部自由度和边界自由度两部分，如图2所示。

图2 子结构内部节点和边界节点示意图Fig. 2 The internal nodes and boundary nodes of substructures

图2中两个子结构α、β的无阻尼自由振动方程为

(3)

首先，分别对两个子结构进行独立的模态分析，得到其固定界面主模态和约束模态，同时，为了缩减自由度，在主模态中只保留低阶主模态；然后对其进行模态坐标变换，并将变换后模态坐标下的运动方程代入式(3)进行整理，可得

(4)

选择广义坐标{q}=({pI}α{pI}β{xB}α)T，利用子结构间的界面位移连续性条件{xB}α={xB}β，进行第二次坐标变换，则有

(5)

将式(5)代入式(4)，并左乘[T]T可得

(6)

其中，

(7)

式(6)即为模态综合后的结构自由振动方程，根据该方程求解广义坐标{q}下的特征值和对应的特征向量；最后通过两次坐标反变换将广义坐标参数转化成物理坐标参数。详细公式推导过程可参见文献[20]。

由固定界面模态综合法凝聚成的子结构定义为超单元。图3(a)为一段包含20节段的主梁桁架原始有限元模型，主梁横断面如图3(b)所示；选取两端非重点关注的节段作为超单元，并选择边界节点为主自由度，再组装形成超单元模型，如图3(c)所示。

图3 超单元示意图Fig. 3 Super elements

2 车致桥梁局部动力响应分析方法

2.1 车-线-桥耦合系统动力方程

车-线-桥耦合系统包括车辆子系统和桥梁-轨道子系统。其中，车辆模型通常简化为具有二系悬挂的弹簧-质量模型，并采用刚体动力学方法建立31自由度车辆模型；桥梁-轨道模型采用基于固定界面模态综合法建立三维精细化动力学模型，并采用有限元直接刚度法建立列车-轨道-桥梁耦合系统动力方程

(8)

桥梁-轨道系统的阻尼矩阵包括桥梁本身的材料阻尼和轨下弹簧-阻尼器单元的阻尼，如式(9)所示

(9)

式中：α、β分别为Rayleigh阻尼系数；Ne为阻尼单元的单元数目；Cj为第j个弹簧-阻尼单元的阻尼矩阵。

轮轨接触关系是车-桥耦合动力系统的一个关键问题[21-22]。本文采用三维轮轨接触模型，轮轨空间几何接触采用迹线法计算，轮轨法向力采用Hertz非线性弹性接触理论计算，轮轨蠕滑力首先基于Kalker线性蠕滑理论计算，然后采用Johnson-Vermeulen理论进行非线性修正，具体计算公式详见文献[23]。

轨道随机不平顺是引起车桥耦合系统振动的重要因素之一，通常将其视为具有零均值的各态历经性的平稳Gauss随机过程。本文根据轨道不平顺功率谱密度函数，采用三角级数法得到轨道不平顺样本数据。

2.2 求解系统动力方程

本文采用显-隐式混合数值积分法求解车-线-桥耦合系统动力方程。其中，车辆子系统动力方程采用新型显式积分法，对于桥梁-轨道子系统动力方程采用Newmark-β隐式积分法。采用这种混合数值积分法计算既保证了桥梁结构有限元分析的稳定性，又提高了复杂轮轨非线性系统动力学计算效率。

2.3 后处理模块

在完成耦合系统动力方程每一子步求解后，存储关键节点的位移和加速度响应，然后根据节点不同时刻的位移和相应单元刚度矩阵信息，计算单元和节点的应力。由弹性力学的经典应力-应变定律可得

σe=Dεe=DBδe

(10)

式中：σe为应力矩阵；D为弹性矩阵；εe为单元应变矩阵；B为几何矩阵；δe为单元内部节点的位移矩阵。

将式(10)拓展，可得移动列车动力荷载作用下的桥梁动应力响应为

Sb(t)=DBUb(t)

(11)

式中：Sb(t)为t时刻单元的应力矩阵；Ub(t)为几何坐标下单元所有节点的位移矩阵，即为求解车-线-桥耦合系统动力方程中存储的位移矩阵。

根据以上理论分析方法，基于车-桥耦合振动的桥梁局部动力响应分析流程，如图4所示。

图4 计算流程图Fig. 4 Solution procedure of the method

3 数值算例

3.1 工程概况

沪通长江大桥主航道桥为双塔斜拉桥，跨径布置为(140+462+1 092+462+140)m，是目前世界最大跨度的公铁两用斜拉桥，桥式布置图如图5(a)所示。上层为6车道公路，下层为2线沪通铁路和2线设计时速为250 km/h的客运专线，铁路桥面铺设有砟轨道。

桥梁主梁采用箱桁组合断面，上、下桥面均采用正交异性板整体钢桥面。主桁架宽为35 m，高为16 m，主桁节间间距为14 m。桁梁不同区段分别采用Q500、Q420、Q370等钢材，主梁横断面图如图5(b)所示。桥塔为钻石形塔，采用C60混凝土，塔高325 m。斜拉索采用抗拉强度为2 000 MPa的Ф7平行钢丝索；每个索面布置37根斜拉索，单根斜拉索最大长度达583.8 m，单根斜拉索约重78 t。

3.2 有限元模型

斜拉桥结构的几何形状、受力特征、材料性质等复杂多样，因此根据各个构件的力学特征分别采用不同的单元模型。采用空间梁单元模拟钢桁架、加劲肋、桥塔和桥墩，采用空间板单元模拟钢桥面板，采用空间杆单元模拟斜拉索。

考虑桥上轨道结构的弹性支撑作用，对于准确模拟车-线-桥耦合系统动力相互作用非常重要。针对有砟轨道，钢轨和轨枕常采用梁单元模拟，扣件和道砟用弹簧-阻尼单元模拟。有砟轨道散粒体道床对于轨枕的等效支撑刚度和阻尼根据文献[10]确定。

图5 沪通长江大桥示意图(单位：m)Fig. 5 Illustration of Hutong Yangtze river bridge(unit：m)

根据正交异性钢桥面板实际结构建立的沪通长江大桥斜拉桥精细化有限元模型，如图6所示。在此模型的基础上，通过固定界面模态综合法对模型的自由度进行缩减，将该缩减后的模型定义为CASE1方案。采用等效正交异性板法建立斜拉桥动力分析模型定义为CASE2方案。有限元精细化模型、固定界面模态综合法模型和等效正交异性板模型的自由度数目分别为114万、42万和71.5万。

3.3 桥梁自振特性

首先对斜拉桥进行模态分析，表1中给出了前10阶自振频率和振型，桥梁主要振型如图7所示。

从表1和图7分析可知：

(1)该斜拉桥前10阶频率均小于0.5 Hz，且相邻振型之间频率接近，这与大跨度斜拉桥的长周期动力特性相符。

图6 斜拉桥有限元模型Fig. 6 FE model of cable-stayed bridge

(2)对比表1两种方案计算的桥梁自振特性基本相同，但CASE2方案自振频率略低于CASE1方案，表明采用等效正交异性板方法使得模型结构刚度偏小；同时，采用固定界面模态综合法建立动力学模型可以显著地减少模型自由度数目。

表1 桥梁频率及振型

图7 桥梁前4阶振型图Fig. 7 The first four vibration modal of bridge

3.4 主桥面板局部动力响应

采用CRH2列车，结合实际运行情况[24]，车辆编组为4(1T+2M+1T)，以250 km/h的速度单线通过斜拉桥，轨道不平顺采用德国低干扰轨道谱。以主跨跨中截面为例，对比桥面板不同位置的加速度及位移响应。跨中截面处主要关注点布置如图8所示。

图8 主跨跨中桥面板关注点示意图Fig. 8 Points of bridge deck in the middle of main span

图9和图10分别给出了主跨跨中桥面板节点的最大加速度响应和最大位移响应，可以看出：

(1)相比横向和纵向动力响应而言，大跨度斜拉桥主梁桥面板以竖向振动为主；由于大跨度斜拉桥主梁刚度和质量较大，CASE1和CASE2两种模型计算的竖向加速度最大值远小于规范规定限值，分别为0.465 m/s2和0.463 m/s2，两种模型计算误差仅为0.4%；两种模型的竖向位移最大值分别为114 mm和121 mm，误差为6.1%。

图9 主跨跨中桥面板关注点最大加速度响应Fig. 9 Maximum acceleration response in the mid-span of main span of the bridge deck

(2)由于列车荷载直接作用于钢轨上，并经有砟道床传递至正下方桥面，因此两种模型得到的桥面板加速度均在行车线路处最大，并沿桥面向两侧逐渐递减；其中，CASE2模型由于采用等效正交异性板建模，模型中没有考虑实际加劲肋，因此加速度沿桥面横向衰减规律较CASE1模型略有不同。

图10 主跨跨中桥面板关注点最大位移响应Fig. 10 Maximum displacement response in the mid-span of main span of the bridge deck

(3)以往研究通常选取主纵梁上的加速度响应作为桥梁加速度响应的评估值，但主纵梁处并非振动最大的部位，且文献[25]中给出的桥梁加速度响应限值没有考虑桥面板不同部位的变化，本文可为今后规范针对桥面板不同部位的加速度限值确定提供参考。

(4)由于单线行车的偏载效应，导致行车一侧的竖向位移比非行车一侧的竖向位移大，但整体线性变化表明主梁具有较大的纵向抗扭刚度；而横向位移和纵向位移变化较小，说明列车行车位置对同一断面桥面板横向和纵向振动位移影响很小。

(5) CASE2模型由于采用等效正交异性板法对局部刚度进行了等效，而无法准确考虑局部刚度对主梁整体刚度的影响，因此位移计算结果偏大；但两种模型计算的位移沿桥面的分布形式基本一致，曲线接近平行，说明在加劲肋相对密集时，两种方法均能反映桥面板的局部动力响应。

3.5 主桁架动力响应

为研究列车动力荷载作用下斜拉桥主梁桁架杆件的振动规律，选取图11(a)所示的主跨跨中部分节点作为参考点，以CASE1模型为例开展动力响应计算。

图12给出了关键节点的加速度时程曲线，表2给出各节点振动加速度最大值。从表2和图12可知，行车一侧的主桁架节点加速度最大，离行车位置横向距离越大，加速度越小。从图12(a)可知，桥梁跨中截面竖向加速度时程曲线呈现凹陷的特征。主要原因在于，在列车活载作用下桥梁主跨存在较大竖向变形(跨中竖向最大变形114 mm)，列车高速通过时产生离心力作用，从而引起桥梁跨中截面处最大约10.5 mm/s2的离心加速度。

列车动力荷载作用下桁架主梁杆件动应力状态对于铁路桥梁的设计及疲劳寿命评估具有重要意义。以图11(b)所示的斜拉桥主跨跨中部分杆件为例，主跨跨中节段竖杆MS1、MS2、MS3，以及斜杆MX1、MX2的最大应力时程曲线如图13所示。

表2 主桁架节点加速度最大值汇总表

图11 主跨跨中主桁架横截面编号示意图Fig. 11 Illustration of the nodes and bars in the mid-span of main span of bridge truss

图12 主跨跨中主桁架节点加速度响应时程曲线Fig. 12 Time history of the acceleration of the mid-span of bridgetruss

由图13可知：①在列车活载作用下主跨跨中竖杆的应力幅值-4～6 MPa，斜杆的应力幅值-6～7 MPa；且车-桥耦合系统动力分析与静力过桥方法分析所得杆件应力计算结果差别不大，图中竖杆和斜杆应力冲击系数均不超过0.05；表明对于大跨度斜拉桥而言，桁架梁杆件的冲击系数较小。②在列车偏载作用下，由于MS2位于截面中部，受到的扭转效应较小，且此处不与斜拉索相连，因此MS2杆件应力水平较低；处于对称位置的竖杆MS1与MS3以及斜杆MX1与MX2的应力时程曲线呈反对称趋势。

4 结 论

(1)针对列车动力荷载引起的大跨度桥梁局部动力响应问题，以沪通长江大桥主航道大跨度斜拉桥为研究对象，基于车-桥耦合动力学理论，分别采用固定界面模态综合法和等效正交异性板方法建立斜拉桥有限元模型，对比分析了该桥主梁桥面及杆件的局部动力响应，主要得到了以下结论：

(2)采用固定界面模态综合法和直接刚度法相结合，建立三维有限元动力模型进行大跨度斜拉桥车-桥耦合振动分析，既可以有效减少模型自由度数目又可以反映桥梁局部动力响应。

(3)在列车动力荷载作用下，行车线路正下方的正交异性钢桥面板局部振动远大于主桁架纵梁处振动；现行高速铁路设计规范关于桥梁振动加速度限值没有考虑列车对柔性桥面板的局部冲击效应，以往以主桁架处的加速度作为判定依据，使得评估结果偏于不安全。

(4)通过比较发现，对于加劲肋间距相对较密的桥面板采用固定界面模态综合法和等效正交异性板方法建立的桥梁模型均可以考虑局部动力响应，但是后者会使得桥梁整体刚度变小，自振频率偏低，导致计算结果偏大。

(5)大跨度公铁两用斜拉桥由于主梁刚度和质量较大，在列车动力荷载作用下，主梁桁架杆件应力冲击系数较小，动力效应不显著。

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Researchonlocalvibrationoflong-spancable-stayedbridgesinducedbytrainload

ZHU Zhihui1,2，CHENG Yuying1，GONG Wei1，CAI Chengbiao3，GUO Xiangrong1

(1.School of Civil Engineering, Central South University，Changsha 410075, China；2.National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction，Central South University, Changsha 410075, China；3.State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031, China)

In order to study the local response of main girder and steel deck induced by traveling train load in long-span cable-stayed bridge，a spatial coupling dynamic model of train，track and cable-stayed bridge was established based on the theory of vehicle-bridge coupling vibration. The fixed-interface component mode synthesis method and equivalent orthotropic plate method were employed to build the fine finite element model of long-span cable-stayed bridge，the vehicle was modeled as a mass-spring-damper system with a two-layer suspension system at 31degrees of freedom，and the spatial roll contact between wheel and rail was used to simulate the wheel-rail contact. Hutong Yangtze river cable-stayed bridge，which the main span length is 1 092 m，was taken to study the distribution law and characteristics of vibration of bridge deck and main truss girder induced by high speed trains. It is indicated that equivalent orthotropic plate method could well reflect the local vibration of bridge deck，but the vibration displacement of main girder has certain deviation due to without considering the consistency of the overall stiffness of the main girder after the equivalence.The vertical acceleration of deck beneath the running lane is far greater than the points in main girder truss due to the smaller local vertical stiffness of deck.When evaluating the serviceability of long-span plate-truss cable-stayed bridge according to relevant codes of railway bridges, the influence of bridge deck vibration should be considered. The impact coefficient of the main girder truss bar stress is small under dynamic train loading，so the dynamic influence is not obvious.

fixed-interface component mode synthesis method(FCMS)；local dynamic response；long-span cable-stayed bridge； train-bridge coupling vibration；wheel-rail contact

国家重点研发计划项目(2017YFB1201204);国家自然科学基金(51378511; 51678576)；牵引动力国家重点实验室开放课题(TPL1601)

2016-04-21 修改稿收到日期： 2016-07-10

朱志辉 男，博士，副教授，1979年生

U238;TU248

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.002