教材引例，应以“引”为主“例”为辅

■吴琳

教材引例，应以“引”为主“例”为辅

■吴琳

教材研究是教学研究的一个重要关注点，针对教材的研究，要重视教材上引例的开发。教材引例重在引出问题或概念，不在于引例的例题作用，而不少引例在作为情境进行开发时容易出现偏差。

教材研究 教材引例 情境创设 建构知识

教材引例是指在学习一个新的数学概念或数学性质时教材中设计的问题情境。教材引例的作用是为了帮助学生更好地理解新概念或新性质。因此，我们在教学中要认真领会教材引例的设计意图，把教学的重心放在如何引导和启发学生学习上，利用好但又不拘泥于教材中的引例，必要的时候，可以对教材引例进行调整和补充，以提高学生学习的效率。现以人教版义务教育教科书《数学》为例加以说明。

一、补充类型，帮助学生更好地理解概念

概念是数学的细胞，准确地理解概念是学好数学的基础。概念的逻辑结构包括概念的内涵和概念的外延两部分。在学习概念时，重点是准确地理解一个概念的内涵。人教版教材中，在引入数学概念时都提供了一些问题情境，由学生对这些问题情境进行分析、比较，从中抽象和概括出它们的共性特征，最终形成一个新的概念。

比如，关于“一元一次方程”的教学。“一元一次方程”是方程体系中最基本的方程，是学习其他方程，如一元二次方程、二元一次方程的基础，因此，深刻理解并掌握一元一次方程的概念对后续学习方程十分重要。教材中，在引入一元一次方程概念之前，设计了如下问题：

例1 根据下列问题，设未知数并列方程：

（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

（2）一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h？

（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

教师在教学过程中，一般先由学生列出三个方程，分别是：① 4x=24；②1700+150x=2450；③0.52x-（1-0.52）x=80。然后请学生对这三个方程进行分析比较，发现它们具有共同的特征：都是整式方程，都只含有一个未知数（元），未知数的次数都是一次。在此基础上引入一元一次方程的概念。

笔者在教学中有如下思考：第一，“一元”应是相对于“二元”或“多元”而言，“一次”也应该是与“二次”或“高次”相对，因此，要概括出“一元”和“一次”两个特征，最好与“二元”和“二次”进行比较；第二，既然一元一次方程在整式方程体系中处在最基础的位置，因此，在学习一元一次方程时，适当地从“元”和“次”两个角度作一些补充，让学生知道方程的“前生”和“后世”，也可以为今后学习其他的整式方程提供一个路径。因此，笔者在进行“一元一次方程”教学时，在教材引例的基础上增加了两个问题：

（4）学校召开运动会，需要选购两种饮料共40瓶，其中矿泉水1.5元一瓶，茶饮料2元一瓶。王平计划恰好花费65元购买这些饮料，那么两种饮料应该各买多少瓶？（如果设一个未知数，可以列出什么方程；如果设两个未知数，可以列出哪些方程。）

（5）劳技课上，老师要求把一个底面半径是5厘米、高为12厘米的“瘦长”型圆柱陶泥作品重新制作成高为9厘米的“矮胖”型圆柱，这时，底面半径变成了多少厘米？

这样，又得到4个方程：④ 2x+1.5（40－x）＝65；⑤ 2x+1.5y＝65；⑥ x+y＝40；⑦ π×x2×9＝π×52×12。

这时，请学生自己选定一个标准把上面的7个方程进行分类。这时，学生的学习主动性被充分调动，有的按未知数的个数进行分类，有的按未知数的最高次数进行分类，也有既按照未知数的个数又按照未知数的次数进行分类的，在此基础上很自然地引进一元一次方程的概念，这时，学生不仅深刻地理解了一元一次方程的概念，也让学习有了一种意犹未尽的感觉。

二、提高台阶，促使学生更好地探究发现

培养和提高学生的探究能力是数学教学的重要任务。如何在数学教学过程中培养和提高学生的探究能力，笔者认为，教师一定要提供能够有效激发学生开展探究活动的教学材料，要让学生在利用这些材料进行探究时有一种“众里寻他千百度。蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”的心理体验，要能够产生顿悟，而不应该是“得来全不费功夫”的假探究。

比如，关于“同底数幂的乘法”的教学，教材的引例是：

问题1 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103s可进行多少次运算？它工作103s可进行运算的次数为1015×103，然后利用乘方的定义可知10）×

接下来，教材上又安排了一个探究：

根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）25×22=2（）；（2）a2·a2=a（）；（3）5m·5n=5（）。

笔者认为，教材的设计遵循了一般的探究思路，先从特殊情况下手，再由特殊推广到一般。但有的学生可能不一定按照这样的思路进行思考，他们可能受问题1的启发，直接利用定义计算am·an。因此，笔者认为教材中安排的探究内容限制了学生的思维，不利于学生进行个性化、开放性的探究，而且，这种拾阶而上的设计，“台阶”太小，缺少思维张力，学生几乎不需要思考，依葫芦画瓢，就能得到最后的答案。这个内容可以这样设计，在引入问题1后，直接让学生猜想：am·an的结果是多少？然后让学生说明理由。这时，学生的思维就遇到了一定的挑战，也可以更快地进入思维最近发展区，对学生探究能力的培养是有好处的。

三、拓宽视野，引领学生更好地建构知识

有效的数学学习应该是学生主动建构的过程，因此，在数学教学过程中，我们要有意识地帮助学生建立良好的认知结构，要让学生眼中不仅有树木，而且有森林，学习时不仅能钻得进，又能跳得出。要让学生的数学学习过程，不仅是一个数学知识的学习过程，更是一个数学学习方法和数学思维方式的学习过程。

比如，关于“正比例函数”的教学，教材中的引例是：

下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式。这些函数解析式有哪些共同特征？

（1）圆的周长l随半径r的变化而变化；

（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化；

（3）每本练习本厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化；

（4）冷冻一个0℃的物体，每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化。

上面问题中，表示变量之间变化的函数解析式分别为：（1）l=2πr；（2）m=7.8V；（3）h=0.5n；（4）T=－2t。

上面这些函数都是常数与自变量的积的形式。一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

我们知道，正比例函数与反比例函数是初中阶段两个重要的基本函数。这两个函数的学习基础是小学阶段的正比例关系和反比例关系。既然有了小学的学习基础，到了初中，可以把两个函数的学习放在一起，不仅可以让学生更准确地理解两种函数的特点和联系，也可以让学生对这两种函数进行整体感知、理解和储存。因此，教学时可以再增加如下问题：

（5）一个长方形的面积为12cm2，它的一边长为 y(单位：cm)随着另一边长 x(单位：cm)的变化而变化；

（6）甲、乙两地相距50km，一辆汽车从甲地到乙地，汽车从甲地到乙地所用的时间t（单位：h）随汽车的平均速度v(单位：km/h)变化而变化。

这时，请学生对以上6个式子的结构进行比较，概括出正比例函数的基本特征，并通过与反比例函数的联系与区别，进一步加深对正比例函数本质特征的认识，又为后面学习反比例函数作了很好的铺垫。

著名教育家叶圣陶说过，教材是一个例子。既然是一个例子，就可以变换。因此，在教学过程中，我们应当根据实际需要对教材引例进行必要的调整和补充，目的是为了能够更好地“引”，为了学生更好地学。

（作者为江苏省南通崇川学校初中部校长）

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书 名：初中数学核心内容教学设计案例集出版社：人民教育出版社

本书采用“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论和实践研究”课题提出的教学设计框架，按照教科书顺序，针对初中数学的核心内容进行教学设计。本书作者均为参加课题研究的教师和参加教师用书教学设计案例编写的教师，既有丰富的一线教学经验，又经过参加课题研究及教师用书编写的历次探讨，对教学设计的理论有所把握。