用纸片折出丰富多彩的图形

2017-11-25陈德前

数理化解题研究 2017年26期

关键词：折痕菱形等腰三角

曹洪陈德前

(江苏省兴化市楚水初级中学，江苏泰州 225700)

用纸片折出丰富多彩的图形

曹洪陈德前

(江苏省兴化市楚水初级中学，江苏泰州 225700)

折纸是同学们经常玩的游戏，利用纸片可以折出许多丰富多彩的图形. 以折叠矩形纸片为例说明折等腰三角形、折等边三角形、折叠平行四边形、折叠菱形、折叠正方形，并通过推理说明折叠的正确性．

折叠纸片；常见图形；推理论证

折纸是同学们经常玩的游戏，利用纸片可以折出许多丰富多彩的图形，下面以折叠矩形纸片为例来说明．

一、折等腰三角形

解决这个问题是一件比较容易的事，如图1.

第一步：如图1①，将长方形纸片沿着虚线对折，得到图1②；

第二步：如图1③，沿对角线剪下并展开即可得到如图1④的等腰三角形.

为什么△ABC就是等腰三角形呢？道理很简单：第一，AB、AC是剪出的直线段；第二，∠ADC=ADB=90°，即B、D、C在一条直线上；第三，AB与AC是关于直线AD的对称线段，所以AB=AC，即△ABC是等腰三角形.

二、折等边三角形

解决这个问题就不那么容易了，其操作步骤如下，如图2.

第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开(如图2①)；

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN(如图2②).

第三步：如图2③，延长MN交线段BC于P，得△BMP，则△BMP是等边三角形.

分析要证明△BMP是等边三角形，先看图形中有没有等边三角形，连结AN，易知△ABN为等边三角形，进而有60°的角；再看∠BNM=∠BAD=90°，所以可以通过计算得到这个三角形的三个内角都为60°，即△BMP是等边三角形.

证明连结AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN.

由折叠知AB=BN，∴AN=AB=BN，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∴∠PBN=30°.又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠BAD=90°，∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，∴∠BMP=60°，∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，∴△BMP为等边三角形 .

三、折叠平行四边形

准备一张矩形纸片，按如图3操作：

将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．

分析(1)根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可；(2)求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE.再根据菱形的面积计算即可求出答案．

说明本题给出了利用矩形纸片折叠平行四边形的方法，在解题的过程中应用了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30°角的直角三角形性质，主要考查运用定理进行推理和计算的能力．

四、折叠菱形

对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：

第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；

第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图4；

第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图5.

(1)证明：∠ABE=30°；

(2)证明：四边形BFB′E为菱形.

分析(1)根据点M是AB的中点判断出点A′是EF的中点，然后判断出BA′垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE=BF，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠A′BE=∠A′BF，根据翻折的性质可得∠ABE=∠A′BE，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证.(2)根据翻折变换的性质可得BE=B′E，BF=B′F，然后求出BE=B′E=B′F=BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明．