一种修正的Osher通量在高阶WCNS中的特性

朱华君， 燕振国， 刘化勇,*， 毛枚良,2

1.中国空气动力研究与发展中心 空气动力学国家重点实验室， 绵阳 621000 2.中国空气动力研究与发展中心 计算空气动力研究所， 绵阳 621000

一种修正的Osher通量在高阶WCNS中的特性

朱华君1， 燕振国1， 刘化勇1,*， 毛枚良1,2

1.中国空气动力研究与发展中心 空气动力学国家重点实验室， 绵阳 621000 2.中国空气动力研究与发展中心 计算空气动力研究所， 绵阳 621000

将一种基于多维修正的Osher通量运用于高阶加权紧致非线性格式(WCNS)中，该修正通量主要在垂直于激波面的界面上增加耗散，能够改善Osher通量的激波捕捉稳定性，同时对边界层和接触间断的分辨率影响非常小。对修正的Osher通量在高阶WCNS中的特性进行研究，通过数值模拟测试了基于Osher通量的WCNS的激波稳定性、热流预测精度、边界层模拟能力、激波边界层干扰模拟能力，并与Steger-Warming通量和Roe通量进行了对比。结果表明修正后的Osher通量比Harten修正的Roe通量具有更好的激波捕捉鲁棒性，而边界层、驻点热流值和激波边界层干扰的模拟则明显优于Steger-Warming通量。上述结果说明了基于修正的Osher通量的高阶WCNS具有较好的激波捕捉特性、热流预测精度和边界层计算能力。

通量； 高阶WCNS； 激波稳定性； 热流计算； 边界层计算

通量的设计对高阶精度激波捕捉格式是非常重要的。高阶精度格式为了捕捉激波，一般采用基于特征线理论的迎风型通量，通过其迎风特性引入一定的耗散从而使得激波稳定；而为了模拟精细的流场结构，又要求通量的耗散尽可能地小。所以设计能够较好地捕捉激波，同时又具有较小耗散的通量是具有一定难度的。迎风型通量通常包括通量差分型通量和通量分裂型通量。一般前者相对于后者具有更小的耗散，但是前者更容易出现激波不稳定现象。通量差分型通量主要有Roe通量和Osher通量。Osher通量通过在相空间中将通量导数沿着积分曲线进行积分来提取左右迎风特性，它关于左右状态是可微的，捕捉定激波非常锐利，而且一维情况下对应的Osher格式满足熵条件[1-7]，但是在计算多维激波问题时原始的Osher通量容易出现激波不稳定。Amaladas和Kamath发现Osher通量计算强激波问题很难得到收敛解[8]。为了解决通量差分型通量的激波不稳定性问题，已有许多学者提出了各种修正方法。Sanders等基于5个界面的特征速度最大差异发展了一种H型的修正方法[9]。Pandolfi和D’Ambrosio基于相邻4个界面的特征速度最大差异进行修正[10]，但是修正量的计算公式要比文献[9]中的复杂。Ren提出了旋转Riemann算子[11]。最近，笔者借鉴文献[9-10]的思想，给出了一种基于相邻界面的局部最大特征速度变化量的简化熵修正方法，测试结果表明修正的Osher通量改善了一阶格式和二阶格式的多维激波问题求解的鲁棒性[12]。本文将该修正的Osher通量运用到高阶精度格式的计算中。

高阶加权紧致非线性格式(WCNS)是邓小刚和毛枚良在1997年提出的[13]，WCNS对物理变量作非线性加权插值，在光滑区域各子模板的权值趋于最优权使得格式达到五阶精度，在间断附近跨间断模板取近似零权值以阻止跨间断插值。2011年他们又提出了混合使用节点和半节点的混合型WCNS(HWCNS)[14]，同年还提出了守恒网格导数计算方法(CMM)使得格式满足几何守恒律[15]。由于CMM形式不唯一，2013年邓小刚等又提出了SCMM网格导数计算方法[16]，解决了网格导数和雅可比计算的唯一性问题。大量的数值模拟表明满足几何守恒律的WCNS具有很强的网格适应性和鲁棒性[17-19]。通量的设计对于高阶激波捕捉格式是非常重要的。目前，WCNS大都采用Steger-Warming通量和Roe通量，还没有运用Osher通量以及与其他通量进行比较。

本文将修正的Osher通量运用于高阶WCNS，并对格式特性进行研究。通过二维无黏和黏性圆柱绕流、层流边界层、激波边界层干扰、空心圆柱裙(Hollow Cylinder-Flare)和三维钝锥高超声速绕流算例的模拟，测试了该计算策略的激波稳定性、热流预测精度和边界层模拟能力。

1 控制方程和高阶WCNS

三维可压非线性Navier-Stokes方程可写为

式中：U为守恒向量，下标t表示时间；Fi和Fv分别为无黏通量和黏性通量。取黏性通量为零，则Navier-Stokes方程退化为Euler方程，其形式及其在曲线坐标系下的变换形式详见文献[16]。本文将主要基于二维Euler方程介绍Osher通量和修正方法，该修正方法在三维的推广是直接而简单的。二维Euler方程的形式为

Ut+f(U)x+g(U)y=0

(1)

(2)

式中：f、g分别为x、y方向的通量函数；ρ为密度；u、v分别为x、y方向的速度分量；e为总能；p为压力；状态方程为p=(γ-1)·(e-ρ(u2+v2)/2)；γ为比热比。

由物理空间到计算空间的坐标变换为ξ=ξ(x,y)，η=η(x,y)，τ=t，其中ξ、η与τ分别为计算空间中的2个空间坐标和时间坐标。此时式(1)变为

(3)

高阶WCNS的空间离散包括3个方面内容：计算通量导数的差分格式、计算半点左右值的插值算法和计算半点通量的计算格式。本文考虑五阶WCNS，通量导数的差分算子采用六阶差分算子，

(4)

本文着重讨论的是半点通量的计算格式，笔者将考虑原始的Osher通量、修正的Osher通量以及作为对比的Roe通量和Steger-Warming通量。时间离散采用三步Runge-Kutta方法[21]。对于Navier-Stokes方程的黏性项中导数的离散，本文采用六阶中心差分格式。

2 Osher通量和修正方法

2.1 Osher通量

(5)

2.2 修正方法

由于原始的Osher通量在处理多维问题时仍然按一维Riemann问题近似地计算单元边界面的数值通量，在计算多维激波时容易出现红斑现象或者激波不稳定现象。文献[12]针对一阶精度和二阶精度的有限体积方法，借鉴文献[9-10]的思想，基于垂直于控制体交界面的4个界面两侧的特征速度信息对Osher通量进行修正，数值结果表明该修正可以改善Osher通量在多维激波模拟时的鲁棒性。本文将修正方法推广应用于高阶WCNS中，对半点处的Osher通量进行修正。

图1 与界面face 0相接的4个界面 Fig.1 Four interfaces connected to interface face 0

考虑图1中face 0上半点处的通量，基于垂直方向的局部最大特征速度变化量引入修正量，得到修正的Osher通量为

(6)

对于三维情况，该修正方法的推广是直接的，只是垂直于交界面的相邻界面变为8个。

3 数值结果与分析

本节将运用圆柱绕流、激波边界层干扰、空心圆柱裙等算例，测试基于修正Osher通量的WCNS的激波稳定性、热流计算精度和边界层模拟能力。

3.1 无黏圆柱绕流

考虑无黏圆柱绕流，计算状态为Ma∞=8.0。研究结果表明网格与激波的相对位置对通量的激波稳定性有较为明显的影响，相对位置的微弱变化可能导致激波稳定性结果完全不同[22]。本文通过微弱地改变网格与激波相对位置生成了11套网格来测试激波稳定性，网格生成方法详见文献[12]。对于激波的稳定性，有对称性、收敛性、激波位置3个方面的考察指标，如表1所示。这样对数值解作质量评估分为8种，如表2所示，其中数值解特性中3个数字依次分别代表对称性、收敛性和激波位置指标，例如类型5表示对称的不收敛的激波位置正确的解。

为了书写方便，将本文修正的Osher通量，简记为Osher-Z，将基于Harten熵修正[23]的Roe通量记为Roe-Harten，将基于本文修正的Roe通量记为Roe-Z。表3给出了各种通量的测试结果。在所有11套网格中Osher-Z和Steger-Warming通量都能得到对称、收敛、正确的解，都没有出现“红斑”现象。Roe-Harten在其中的7套网格上会出现红斑或者激波不稳定现象，而Roe-Z通量不会出现严重的红斑现象，但还是会在其中的 5套网格上出现激波不稳定、流场不对称的现象。以上结果表明，Osher-Z通量在捕捉激波的鲁棒性方面与Steger-Warming通量是相近的，并且明显优于Roe通量。

表1 数值解的3种特性Table 1 Three properties of numerical solution

表2 数值解的质量评估Table 2 Quality evaluation of numerical solution

表3不同激波网格相对位置下不同通量的测试结果

Table3Testresultsfordifferentnumericalfluxesongridswithdifferentshock-grid-position

Flux012345678910Osher00000000000Osher⁃Z77777777777Roe⁃Harten77000000577Roe⁃Z44444777777Steger⁃Warming77777777777

3.2 黏性圆柱绕流

高超声速二维黏性圆柱绕流的热流预测问题是测试通量捕捉激波稳定性和测试通量热流预测能力的一个良好算例，许多研究工作都基于该算例对通量进行考核[22，24]。其计算条件为来流马赫数Ma∞=8.1，来流压力P∞=370.6 Pa，雷诺数Re=1.3×105，来流温度T∞=63.73 K，壁温Tw=300 K。所采用的网格头部局部图如图2(a)所示。在本算例中Roe-Harten会出现红斑现象，不能得到正确的激波解，如图2(b)所示，因此不再对其进行考核。

通过改变壁面第1层网格雷诺数测试各通量的热流计算精度和网格适应性，本文考虑3套网格，第1层网格雷诺数分别为13、53和208。图3给出了这3套网格上基于不同通量的五阶WCNS计算得到的壁面热流分布图，其中：θ为圆柱表面对应点至圆心的连线与x轴之间的夹角；q为物面热流；q0为图柱头部热流。可以看出Roe-Z流，得到的热流值相近，随壁面第1层网格的网格雷诺数变化并不大。相反地，Steger-Warming通量的热流值随第1层网格雷诺数的变化较大，当网格雷诺数为52时，头部热流已经出现偏差，而当网格雷诺数达到208时，头部已出现非常明显的过热，热流值偏离理论值较远。

图2 计算网格和Roe-Harten通量计算得到的压力图 Fig.2 Computational grid and pressure contour obtained by Roe-Harten flux

图3 不同雷诺数时第1层网格的壁面热流分布 Fig.3 Surface heating profiles of different fluxes for different grid Reynolds number

3.3 平板边界层算例

考虑低速平板边界层的流动，计算状态为Ma∞=0.2,Re=2.0×106。计算域为一长方形，入口边界位于平板头部前1/2平板长度处，上边界位于1/2倍平板长度处。考虑两套计算网格：第1套网格规模为104×96(流向×法向)并且物面网格雷诺数为Recell=5，第2套网格50×62(流向×法向)并且Recell=100，如图4所示。

截取x=1线上的速度分布并与Blasius解进行比较。图5和图6分别给出了Recell=5和Recell=100情况下分别运用修正的Osher通量、基于Harten修正的Roe通量和Steger-Warming通量的WCNS计算结果，图中η为无量纲坐标。

从图5和图6中可看出，对于x方向速度u，当Recell=5时Osher通量和Roe通量的结果相近，而Steger-Warming通量计算结果有微弱的偏离；当Recell=100时Osher通量的结果仍然与Blasius解符合得很好，Roe通量结果出现微弱偏离，而Steger-Warming的结果出现明显的偏离，最大偏离处达到10%。对于y方向速度v，当Recell=5时Osher通量比Roe通量的结果更靠近Blasius解，而Steger-Warming的结果出现较大偏离；当网格雷诺数为100时，Roe通量计算结果也偏离Blasius解，Steger-Warming的结果偏离变得更大，最大偏离处达到20%。

图4 平板边界层的2套计算网格 Fig.4 Two grids for boundary layer computing

图5 x=1处的速度分布(Recell=5) Fig.5 Velocity profiles for x=1 (Recell=5)

图6 x=1处的速度分布(Recell=100) Fig.6 Velocity profiles for x=1 (Recell=100)

从上述结果可以看出，相比Roe通量和Steger-Warming通量，Osher通量的数值耗散小，能够更好地模拟出层流边界层附近的黏性流动，Osher通量的结果随第1层网格雷诺数的变化更小，模拟边界层更加准确，能在较大的网格雷诺数下得到较为准确的边界层，从而能够降低格式对网格量的需求。

3.4 激波平板边界层干扰

入射斜激波和层流平板边界层干扰算例是最简单的激波边界层干扰算例，通过该算例可以很好地考察计算方法对这类问题的模拟能力。在该问题中，从x=0开始有1个平板，1个入射角度为30.8° 的斜激波在xsh=1处与平板边界层相互干扰，来流状态为Ma∞=2.15，Re=2.0×106，其中雷诺数的参考长度为xsh。具体计算状态和边界处理可以参见文献[25]。

采用修正的Osher通量、Steger-Warming通量和基于Harten修正的Roe通量3种通量对该问题进行了计算。图7中给出了Osher通量计算得到的无量纲压力云图。在激波入射点(xsh)附近，边界层会产生小尺度的流动分离，要准确地模拟这些流动现象不仅要鲁棒地模拟激波以及激波/激波干扰，而且还需要准确的模拟平板边界层的发展。图8给出了不同通量的计算结果沿物面的压力分布，并与实验结果进行了对比。从图中可看出，Osher通量的计算结果与实验结果符合得较好；在本算例中，Roe通量计算结果在大部分区域都与Osher计算结果相近，两者未展现出明显差异；然而，Steger-Warming通量的计算结果与实验结果出现了明显的偏差。

图7 无量纲压力云图 Fig.7 Nondimensional pressure contour

图8 不同通量物面压力分布图 Fig.8 Wall pressure distributions for different fluxes

3.5 空心圆柱裙

空心圆柱裙算例包含复杂的压缩拐角流动和激波边界层干扰现象[26-27]，通过该算例可以很好地测试不同求解方法对这类问题的模拟能力。其模型外形及尺寸如图9所示，对称面上的计算网格如图10所示。通过改变物面法向网格数目生成了一系列网格(法向网格数分别为40、60和100)，通过不同网格密度的模拟结果来测试不同通量对这类问题的模拟能力。

图9 空心圆柱裙算例模型尺寸 Fig.9 Size of hollow cylinder-flare model

计算采用了之前算例中耗散较小的修正的Osher通量和基于Harten修正的Roe通量。图11 给出了相应的计算结果，其中法向网格数为100的2个模拟结果几乎完全重合，此处仅仅给出了其中Osher通量的模拟结果。无论是压力系数Cp还是热流Q分布，随着网格的加密两者都会逐渐趋近于网格收敛解，而且网格收敛解在大部分区域能够与实验结果较好地吻合。Osher通量和Roe通量的计算结果仅仅在最粗的网格上表现出较明显的差异，在其他网格上两者计算结果差异较小。

图10 空心圆柱裙算例对称面计算网格 Fig.10 Grids of symmetric face of hollow cylinder-flare

图11 空心圆柱裙算例压力系数和热流分布 Fig.11 Pressure coefficients and heat flux profiles of hollow cylinder-flare

3.6 三维钝锥高超声速绕流

采用钝锥高超声速绕流[17]测试Osher通量在高超声速三维黏性流动中的表现。钝锥球头半径为Rn=27.94 mm，半锥角为15°，长度为球头半径的16倍。计算条件：来流马赫数Ma∞=10.6，迎角α=20°，每米雷诺数Re=3.973×106m-1，来流温度T∞=47.3 K，壁温Tw=294.44 K。

所采用的计算网格，物面网格雷诺数Recell=Re·Δn≈4,其中Δn为物面附近第1层网格垂直物面方向的网格尺寸。图12给出了修正的Osher通量的计算结果在不同子午面上的热流分布(用驻点热流值Qw0归一化)，并与实验结果进行了对比。从计算结果来看，Osher通量计算结果与实验结果吻合较好。

高超声速流动中热流的预测结果对计算网格非常敏感，边界层内通常需要很密的计算网格来保证热流计算结果的正确性。发展网格敏感性低、在较稀网格下能够正确预测热流分布的计算方法对热流的工程预测有重要意义。本文在图12 的密网格(Fine Grid)的基础上生成了一系列较稀的网格，对不同通量的网格敏感性以及在较稀网格中的热流预测能力进行测试。图13给出了θ=90° 子午面上不同通量在不同网格上计算结果的对比。其中基于Harten修正的Roe通量仅仅在最稀网格上得到了物理的解，而在最密网格和中等网格上都出现了激波不稳定现象，无法给出物理的解。图14给出了密网格上修正的Osher通量和基于Harten修正的Roe通量的热流云图。Osher通量在3套网格中均未出现激波不稳定现象，其鲁棒性明显优于Roe通量。在未出现激波不稳定的计算结果中，Osher通量明显给出了最接近网格收敛解的计算结果，即使在最稀的网格上计算结果依然比较准确。

图12 钝锥算例热流计算结果 Fig.12 Heat flux computational results of blunt cone

图13 钝锥算例不同网格下不同通量的热流对比 Fig.13 Comparison of heat flux computational results of blunt cone for different fluxes on different grids

图14 钝锥算例无量纲热流云图 Fig.14 Dimensionless heat flux contour on blunt cone

图13中同时给出了采用文献[28]中总变差不增(Total Variation Diminishing, TVD)限制的三阶精度格式在中等网格上的计算结果。类似WCNS的测试结果，采用Roe通量的计算结果出现了严重的激波不稳定，而Osher通量的计算结果未出现激波不稳定，说明了Osher通量比Roe通量更鲁棒，而且Osher通量的热流计算结果明显优于Steger-Warming通量的计算结果。

该算例结果表明，3种通量的特性在三维算例中的结论与在二维算例上的结论保持一致。

4 结 论

本文研究了一种修正的Osher通量在高阶WCNS中的特性，并与Roe通量和Steger-Warming通量进行对比。二维高超声速无黏和黏性圆柱绕流算例、层流边界层算例、激波边界层干扰算例、空心圆柱裙(Hollow Cylinder-Flare)算例和三维钝锥高超声速绕流的计算结果表明：

1) 修正的Osher通量的激波稳定性比Roe通量好，与Steger-Warming相近。

2) 修正的Osher通量在光滑区域相对Steger-Warming通量具有更小的耗散，耗散与Roe通量耗散接近，能够在较稀的网格上更好地模拟边界层和热流分布。

上述结果说明了Osher通量在高阶格式中的特性优于Roe通量和Steger-Warming通量。

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(责任编辑： 鲍亚平, 蔡斐)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160926.0950.006.html

PropertiesofOsherfluxwithentropyfixinhigh-orderWCNS

ZHUHuajun1,YANZhenguo1,LIUHuayong1,*,MAOMeiliang1,2

1.StateKeyLaboratoryofAerodynamics,ChinaAerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,Mianyang621000,China2.ChinaComputationalAerodynamicsInstitute,ChinaAerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,Mianyang621000,China

Osherfluxwithamulti-dimensionalentropyfixisappliedforhighorderweightedcompactnonlinearscheme(WCNS).Theentropyfixtechniqueisusedtomainlyimprovethedissipationontheinterfacesperpendiculartotheshockwave,andcanthusimproveshockwavestabilityandmaynotinfluencecontactresolution.ThepropertiesoftheOsherfluxinhighorderWCNSschemesarestudied.Numericalinvestigationsaremadetotestpropertiesofshockwavestability,accuracyofviscousheatingcomputation,andboundarylayerandshockboundarylayerinteractioncalculationabilities.ComparisonswithSteger-WarmingfluxandRoefluxarealsomade.NumericalresultsshowthattheOsherfluxwithentropyfixismorerobustthanRoefluxwithHartenfixinshockcapturing,andisbetterinviscousheatingcomputationthanSteger-Warmingflux.TheseresultsillustratethathighorderWCNSbasedonOsherfluxwithentropyfixisrobustincaputuringshockwaves,cangetaccurateheatflowpredictionandhasgoodsimulationoftheboundarylayer.

flux;highorderWCNS;shockwavestability;heatflowcomputation;boundarylayercalculation

2016-06-17；Revised2016-07-28；Accepted2016-08-25；Publishedonline2016-09-260950

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(11301525,11372342and11572342)

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2016-06-17；退修日期2016-07-28；录用日期2016-08-25； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2016-09-260950

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朱华君， 燕振国， 刘化勇， 等． 一种修正的Osher通量在高阶WCNS中的特性J． 航空学报,2017,38(5):120543.ZHUHJ,YANZG,LIUHY,etal.PropertiesofOsherfluxwithentropyfixinhigh-orderWCNSJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(5):120543.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0241

V211; O355

A

1000-6893(2017)05-120543-10