动点路径的“内隐”与“外显”

李东

双动点问题作为动态图形问题的一种，历来受中考命题者的青睐，常用作压轴把关，究其原因，主要在于其运动路径的多样性、运动条件的制约性、运动结果的多变性，致使问题解决的过程错综复杂、跌宕起伏.学生如果没有较全面的知识、较综合的分析、较精准的运算、较沉稳的心态，面对这类问题就会手足无措，甚至茫然恐惧.这里让我们走进2017年江苏省淮安市中考最后一题，探虚实、思得失.

题目 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=-13x2+bx+c的图像与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC、BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时間为t秒.连接PQ.

2 反思压轴问的“外显”

2.1 能力立意的命题，暴露学生“内功”的脆弱

能力立意的命题考查的是数学思想、方法在新情境下的具体应用，以新情境、活动为载体[1]，一般没有明确显性考查的数学概念、基础知识，而是将解决问题需要的数学思想与方法内隐其中进行命题，要求学生观察、分析数学事实、猜想适当的数学结论和规律，创造性的给出数学问题的解释或证明方法.不但具有考查知识的功能，更具考查学生潜能、数学素养的作用.

本题最后一问的极低得分率首先暴露出学生的问题意识薄弱.这一问以知识的应用为重点，要求学生能够在双动点的情境下识别出问题的本质属性和非本质属性，抽象概括为规范的、标准的数学问题，利用已有的数学知识解决问题.学生不敢大胆质疑动点H的运动路径，如果点H的运动路径不是折线型（含最简的直线型）或是圆弧形，那么点Q′的坐标会因对称轴的不确定而不可求，在应对“是否存在”的这类问题中，当然是先假定存在进行探究，继而聚焦问题本质（探索对称轴是否为定直线）.学生缺乏猜想、质疑的意识以及特殊点探路的经验积累，就会偏离问题的真相，而一旦学生抓住动点H的起点、在y轴上和终点位置进行分析，基本上会发现蛛丝马迹，直至揭开对称轴位置的神秘面纱.

究竟多少学生知道对称轴是一条定直线，不得而知（因为此问不要求写出解答过程），假定不少学生闯过此关，接下来他们还要综合相关的数学知识、数学方法、数学思想，给出问题的解决方案，就拿“能猜不能算”的学生而言，要求其圆满完成任务实在是奢望.无论怎样，能力立意的命题总要以基础知识为支撑，解决本问需要在数形结合、转化、方程等思想方法指引下，综合运用轴对称、三角形中位线、勾股定理、相似三角形、三角函数、一次函数等初中数学的主干知识，这也是我们的学生严重缺失的，没有扎实的基本功，何来临场发挥、急中生智？

2.2 解题能力的提高，依靠三类知识的实训

现代认知心理学认为，人之所以能识别某种事物或事件，是由于通过学习和长期的经验积累，人脑中贮存了事物或事件的图式的缘故[2].这些图式是人脑概括事物特征贮存在人的长时记忆中的相关知识，主要涉及数学事实以及数学概念、原理等，即现代心理学所讲的陈述性知识.本问中学生要识别对称轴的位置，首先要想到点H的坐标，由此要分析因点P、Q运动所产生的有关线段的长度变化，将这些线段长用含有t的代数式表示出来，这需要借助常见的知识和方法，例如依靠勾股定理、相似三角形、三角函数以及面积法，建立相关线段间的数量关系.因此课堂教学中首先要加强陈述性知识的训练，为程序性知识的学习打下牢固基础.

现代信息加工心理学家认为，数学问题解决需要设计并执行解题计划，这涉及数学定理、规律及计算技能等程序性知识.解决本题最后一问，必须迅速和正确地进行相关运算，这种数学计算能力是由个人的程序性知识支配的，比如学生如果熟悉三角形中位线定理或相似三角形的性质与判定，便能准确表示出点H到坐标轴的距离，进而得到其坐标，同样学生如果熟知待定系数法的使用条件和步骤，遇到已知两点（或已知一点设法再求一点）会联想到过这两点的直线解析式.获得程序性知识需要通过变式，将数学规则变成一种熟练的、能自动激活的程序，因此提高学生解题能力，要通过平时大量的变式训练，促进陈述性知识向程序性知识转化，重点在于规则迁移与在新情境中的运用.

现代信息加工心理学家还认为对解题过程进行监控涉及元认知知识和认知策略，这属于对内调控的策略性知识.认知策略是由人们所掌握的关于如何学习、记忆、思维和解决问题的方式方法的知识构成的，个人对自己的思维过程的有意识监控称为反省认知，学生的认知策略和反省认知水平都可以通过系统和长期的教学而得到改善.比如学生解决本题最后一问，点的坐标与垂线段的长、直线与对应的一次函数解析式之间的转换过程都是数形结合思想起作用的过程.在求点Q′坐标的过程中，学生执行自己的解题方案，每一次推演都必须反思自己所要达到的目的以及这样推理的合理性.另外学生在画图分析中，如何抓住本质剔除干扰因素，画出等效的简图，这些识别、转化、取舍的策略在攻坚克难中举足轻重.因此平时教学要加强数学思想方法提炼与渗透，加强解题反思与自我监控的训练，随着这些策略性知识的增强而达到提升解题能力的目的.

一道具有甄别功能的压轴性一问，需要学生拥有坚实的三类知识（即陈述性知识、程序性知识、策略性知识），考查结果呈现的状况提醒我们，切实加强三类知识的训练，提高学生“精确思维与精准行为”[3]（张奠宙教授对数学核心素养一种新界定），永远在路上！

参考文献

[1]张宇清，云鹏.一道中考“数学建模”试题的赏析和反思[J].中学数学杂志（初中），2015（10）：52-54.

[2]皮连生.学与教的心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2009.

[3]张奠宙.解放思想，也来说说数学核心素养[J].中学数学参考，2017（5）：2-3.endprint