例谈特殊化思想在选择题求解中的应用

薛日琴

（福清第二中学，福建 福州 350300）

例谈特殊化思想在选择题求解中的应用

薛日琴

（福清第二中学，福建 福州 350300）

选择题具有灵活多变、知识覆盖面广等特点。选择题的答案包含在四个选项中，往常可以利用特殊化的思想方法求解，选择题求解时的特殊化思想，包括利用特殊值、特殊图形、特殊函数、特殊位置等多种方法。

特殊化思想；选择题；特殊化

在全国高考数学试卷中，选择题数量多，占分比例高，具有概念性强、量化突出、知识覆盖面广、解法多样化等特点，考生能否迅速、准确、全面、简洁地求解选择题，往往是能否取得较好成绩的关键。

数学选择题一般是容易题或中难题，压轴部分有个别难题，当中许多问题的解答可使用特殊方法。解答选择题，要立足通性通法，也要看到选择题题型的特殊性，充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地找到正确选项。

笔者结合教学中积累的部分典型题例，对特殊化思想在选择题求解中的应用问题进行了思考，总结归纳了以下四种不同的途径与方法。

一、将字母数值特殊化

对于一些含有变量的问题，往往可以对其赋一些特殊值，以简化思维过程，达到问题求解的目的。

例1（2017年全国I卷理数第11题）设 x,y,z为正数，且 2x=3y=5z，则

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

分析：依常规方法，令2x=3y=5z=k＞1，得

以上解法费时费力，事实上，只需令变量x取特殊值1，本题即可迎刃而解。

解析：令x=1，则3y=5z=2，可得y=log32，z=log52，从而2x=2，3y=3 log32=log38＜2x，5z=5 log52=log532＞2x，从而3y＜2x＜5z，选择D。

例2（2017年福州市3月质检理数第9题）已知数列{an}中，a1=1，且对任意的m,n∈N*，都有am+n=am+an+mn ，则

分析：本题考查递推数列，累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求数列的前n项和。对于条件am+n=am+an+mn，很多学生不知道怎么对其进行转换，导致解题障碍。事实上，通过观察选项，不需要条件am+n=am+an+mn，亦可求解本题。

二、将图形状态特殊化

对于一些问题，如果题设给出的是一般化的图形，往往可以将其特殊化为特殊图形进行求解。如条件给出的是一般三角形，往往可以考虑特殊化为直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。如条件给出的是平行四边形，往往可以考虑特殊化为矩形、菱形、正方形等。

例3（2017年福建省4月质检理数第9题）已知D,E是ΔABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是

分析：本题条件没有具体指出ΔABC是什么三角形，故可将其特殊化为等腰直角三角形，以简化解题过程。

解析：将ΔABC特殊化为等腰直角三角形，不妨设AB=1，可求D,E坐标分别为直线BC的方程为x+y=1。由于点P在线段DE上，D,E是BC的三等分点，故可设点 P坐标为，由，得 到，结合，可知选择D选项。

例4(2017年福州市5月质检理数第10题)已知a,b,c分别是ΔABC的内角 A,B,C所对的边，点 M为ΔABC的重心，若a

分析：本题中的条件“重心”，大部分学生不懂怎么应用，而条件给的更是莫名其妙，学生难以入手。由于题设未限定ΔABC的形状，故本题可将ΔABC特殊化为特殊的图形。

解析：对于A选项，不妨设ΔABC是以A为直角，腰长为1的等腰直角三角形，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，可求各点坐标为 A(0,0)、，故可排除A选项。同样，对于B选项，可构造以C为直角，腰长为1的等腰直角三角形，以将之排除掉。对于C选项，可构造以以顶角，腰长为1的等腰三角形，以线段AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出各点坐标及对应向量，以将之排除掉。对于D选项，构造以以顶角，腰长为1的等腰三角形，以线段AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，各点坐标为，可知D选项符合题设条件，选择D。

评注：求解向量问题，往往可以通过向量运算或坐标方法。单纯的向量运算，需要寻找各种量之间的相互联系，思维量比较大。运用坐标方法求解，往往会相应增加运算量，但思维跨度较小，相对更易理解和操作。

三、将抽象函数特殊化

对于一些与抽象函数有关的问题，我们往往可以通过待定系数法构造一些特殊函数，以求解符合题设条件的函数，再利用排除法求解题目，达到化繁为简的目的。至于构造特殊函数，往往可以从简单的一次函数、二次函数、反比例函数等入手进行逐个尝试。

例5（2016年全国甲卷理数第12题）已知函数f(x)(x∈R)满 足 f(-x)=2-f(x)，若 函 数与y=f(x)图象的交点为 (x1,y1)，(x2,y2)，… ，(xm,ym)，则

A.0 B.m C.2m D.4m

分析：本题为选择题的把关题，同样很多学生卡在了条件 f(-x)=2-f(x)上。事实上，可构造特殊函数来求解此类题。

解析：尝试令 f(x)=ax+b，由条件 f(-x)=2-f(x)可得 b=1，则 f(x)=ax+1，不妨设 a=1，得 f(x)=x+1。可求函数与y=x+1交点坐标分别为(-1,0)、(1,2)，故 m=2=-1+1+0+2=2。当 m=2选项中能算得2的只有B选项，故选择B。

例6（2017年龙岩市3月质检理数第12题）已知函数 f(x)的定义域为R，其图象关于点(-1,0)中心对称，其 导 函 数 为 f′(x) ， 当 x＜-1 时 ，(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]＜0 ，则不等式 xf(x-1)＞f(0)的解集为

A.(1,+∞) B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)⋃(1,+∞)

分析：本题同样为选择题的把关题，常规方法处理思维跨度大，对于程度中等或中下的学生比较难，下面笔者构造特殊函数法来求解之。

解析：尝试令 f(x)=ax+b，由于其关于(-1,0)中心对称，可得 -a+b=0 ，则 f(x)=ax+a ，f′(x)=a ，得(x+1)[ax+a+a(x+1)]=2a(x+1)2，由2a(x+1)2＜0得a＜0，可取 a=-1，从而 f(x)=-x-1，xf(x-1)＞f(0)即x[-(x-1)-1]＞-1，解不等式得-1＜x＜1，故选择C。

四、将位置关系特殊化

求解选择题，除了关注题设条件，认真观察选项之间的差异也很重要，这些差异是问题求解的关键，且差异往往“差”在特殊位置，用好它，能收到事半功倍的效果。

例7（2016年福州高一第二学期期末质检第11题）如图，点P是半^径为1的半圆弧AB上一点，若AP长度为x，则直线AP与半圆弧AB所围成的图形的面积S关于x的函数图象为

分析：不看选项，直接根据题设条件求S与x的关系，再画图求解，显然这种方法是最不明智的。事实上，观察4个选项，在这一特殊位置，S的取值存在差异，从这方面入手，结合排除法，即可快速求解本题。

例8（2017年福建省4月质检理数第10题）空间四边形ABCD的四个顶点都在同一个球面上，E,F分别是 AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD。若AB=8，CD=EF=4，则该球的半径等于

分析：几何体的外接球问题是常见题型，可是本题的题设条件并不常见，故本题得分率较低。常规方法需要根据条件EF⊥AB，EF⊥CD推导得到球心在EF上，并不易想到，需要学生有较强的空间想象能力。事实上，在保证AB、CD、EF三条线段长度不变的前提下，可将AB绕着E点旋转，CD绕着F点旋转，使两条线段趋向于一个特殊位置，即AB//CD（在这个旋转过程中，球的半径总是保持不变），这样可将空间问题转化为平面问题进行处理。

解析：考虑AB//CD这种临界位置，根据对称，显然球心O在线段EF上，设OE=x，则OF=4-x，由勾股定 理 得 42+x2=22+(4-x)2，解 得

选择题的解答思路不外乎直接法和间接法两大类，直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答。因此，还要求学生掌握一些特殊的解答选择题的方法，在平时的练习中有意识地进行应用，反复体味，以提高自己在这方面的能力，达到“多一点想的，少一点算的”的思维训练。

［1］连佑平.特殊化思想在高中数学解题中的应用［J］.福建教育学院学报，2017（5）.

［2］吕建恒.特殊化思想在解题中的功能［J］.中学数学教学参考，1994（7）.

［3］王新宏.探究特殊与一般思想在高考中的应用［J］.河北理科教学研究，2016（6）.

（责任编辑：王钦敏）