试论高中解析几何中圆锥曲线解题思维的培养

邢子扬

摘 要 圆锥曲线是高中解析几何重要内容，也是高考中的重难点。在这一章节的学习中，我们深刻体会到代数与几何、方程与曲线之间相互转换的巧妙，感受到数形结合思想的魅力。同时圆锥曲线中又蕴含着丰富的数学思想方法，这就使得在学习过程中遇到了许多困难，成为解决圆锥曲线问题的障碍。为此，这就要寻求行之有效的教学策略来帮助克服圆锥曲线的学习困难。

关键词 圆锥曲线 高中解析几何 方程与曲线 代数与几何 数形结合

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

圆锥曲线作为高中课程中解析几何的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想，其中包括数与形相结合的数学思想、类比和比较的数学思想、运动变换的数学思想、分类讨论的数学思想、函数与方程的数学思想、转化与化归的数学思想、猜想构造的数学思想，等等。尤其是数与形结合的思想，在求解与分析解析几何问题过程中起到了非常重要的作用。

1数形结合思想

数形结合思想指的是将抽象的数学概念及代数问题与直观的图形表达方式结合起来，一方面能够借助图形的性质将复杂的代数问题变得直观化与形象化，在学习圆锥曲线章节内容时，研究直线的斜率范围、代数式的最值问题等等，都可以通过图像法，将代数问题一目了然的表示出来，另一方面可以利用数的推理论证来分析图形所具有的性质，如判断直线和曲线之间的位置关系等，从圆锥曲线的概念讲解、几何性质分析以及综合应用中，无处不渗透着数形结合思想，不仅能让高中生更加清晰、完整的了解曲线的概念及性质，而且有利于突破高中生的固定数学思维模式。

2函数与方程思想

函数与方程是两个完全不同的概念，但两者之间又有着密切的关系，一个函数如果存在着解析表达式，那么就可以将该函数看做是一个二元方程，且方程中两个变量之间存在着对应的关系。函数的思想方法是指，在某些数学问题中的一些元素之间在变化的过程中，存在着相互制约和相互影响的关系，而我们在求解问题过程中，充分的去挖掘这些元素之间的数量关系，并且构建函数关系式，进而将对数学问题的分析转换到分析函数数量关系的问题上来。而方程的思想方法是指，在某些数学问题的一些元素之间存在等量关系，并且利用这种关系来构造方程，然后再利用方程的性质来分析数学问题。函数与方程思想为圆锥曲线的学习提供了新的思路与方法，如讨论直线与曲线位置关系、讨论函数的极值问题时，可以转化成求解方程根的问题来判断。

3化归与转化思想

化歸与转化思想指的是，将需要求解的数学问题，通过认真观察、对比分析、逻辑推理、知识联想等一系列思维的活动过程，将陌生的问题转化为高中生比较熟悉的问题，将比较困难的问题转化为高中生比较容易解决的问题，将比较繁琐的问题转化为比较简单的问题，这样将未知的问题转化为一些已知问题的一种数学思想方法。化归与转换利用的等价转化的思想，利用方程同根、等量替换、充要条件等知识对问题进行等价的转化，这样才能保证最后求解出的答案仍然是原题的结果。化归与转化在圆锥曲线的学习过程中具有不可估量地位。

4分类讨论思想

分类讨论思想指的是，当对所给问题中的研究对象不能进行统一分析时，就需要把研究对象按照某个标准进行分类，然后对每个类别分别进行研究讨论，最后将每个类别的研究结果进行综合，从而得出问题答案的一种数学思想方法。能够科学、不重复的对研究对象进行分类，是正确求解问题的重要前提。通过分类讨论，可以有效的克服对问题思考的片面性，可以使复杂的问题变得更加清晰化，简单化。在圆锥曲线的学习过程中，分类讨论的思想运用非常广泛。如讨论曲线方程的参数变化范围、根的存在性、函数最值等问题都可能因为变量的定义域不同而导致讨论结果的不同，这时就需要对其进行分类讨论，综合结果。

5 应用分析

（1）题目1：高中生将椭圆曲线的中心视为坐标轴的原点，并且分别以两条对角线为x轴和y轴，构建直角坐标系。然后将正方形的中点坐标带入到椭圆曲线的方程中进行运算后得到离心率。

（2）题目2： 以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，求该椭圆的离心率。准确运用椭圆曲线定义作答，如图所示。

透过事物的表面现象看本质，透过所给出的数学问题能够分析出其包涵的深刻数学思想内涵，这样才能对数学概念的理解更为深刻和透彻，才能进入更深层次的思考及探索，从而才能实现培养思维深刻性的目的。例如：对于双曲线定义的理解，平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值是常数的点的轨迹则称为双曲线，应该引导如果距离之差的绝对值等于常数时，其点的轨迹还能组成双曲线吗？经过几何画板的动手实验发现，此时点的轨迹分别是以定点F1，F2为起点的两条单向射线，而不是双曲线？进一步思考，如果距离之差的绝对值等于常数时呢？其实验结果却发现此时点的轨迹不存在。如果该常数为零的情况呢？经实验发现，点的轨迹是一条线段的中垂线，通过对定义中已知条件的引申与拓展，就能对该定义中的关键点有了更加深刻的领会和把握，这样就促进思维深刻性的培养。

参考文献

[1] 张华伟.直线与圆锥曲线教学之我见——提高解题意识及其具体做法[J].新课程·中学，2015（08）：163-164.

[2] 李营.基于情境——问题模式的圆锥曲线教学情境创设[J].辽宁教育行政学院学报，2009（12）：84-85.endprint