关注课堂对话,以题论道论法,促进数学理解—与面积有关的几何问题

上海市育才初级中学(200041) 但水平

关注课堂对话,以题论道论法,促进数学理解—与面积有关的几何问题

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图形面积在小学和初中数学教材中都没有进行系统讲解,而是散落在有关章节中,因此学生经过近九年的数学学习,已经了解了图形面积的相关知识,会运用图形面积的有关知识解决简单的问题.但由于没有进行系统的学习,因此学生对面积知识的掌握是零碎的,没有形成知识体系;应用是纯朴的,没有形成自觉运用的意识;思维是粗浅的,没有形成灵活应用的能力.因此在初中数学总复习中,安排图形面积问题的专题是必要的.

现状分析

本节课是学好相似三角形后的一节专题复习课.通过本章的学习,学生对三角形的面积有关计算以及一些性质的应用有比较清晰地认识和理解.考虑本专题内容是历年中考的热点之一,也是难点之一,部分学生利用本专题相关知识解决问题的能力尚不足,尤其对合情推理的严谨性、规范性、计算的正确性及发现问题、提出问题等均有一定的缺陷,因此,计划上一节专题复习课.

创意设想

中考试题一般具有典型性、示范性、和迁移性,它们渗透了某些数学方法、体现某些数学思想、提供了某些重要结论,因此具有较高的开放性和应用价值.对其深入研究、充分挖掘、并借题发挥,使其在更大范围内发挥效能.本设计针对不同程度的学生,兼顾不同层次,以课本知识为主线,以问题的变式为载体,帮助学生系统整理面积知识的脉络,提炼解决面积问题的方法,增强运用面积知识解题思维水平,让不同层次的学生都得到不同的发展.

课堂预期

(1)提出问题比解决问题更重要;

(2)学会分析比只会解答更有效;

(3)学生归纳比教师总结更精彩;

(4)改造训练系统更符合新课程.

问题背景

(1)如 图 1,△ABC中,DE//BC分别交AB,AC于D,E两点,过点E作EF//AB交BC于点F.请按图示数据填空:

四边形DBFE的面积___;

△EFC的面积____;

△ADE的面积___.

探究发现(2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h.请证明S2=4S1S2.

拓展迁移

(3)如图2,四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为 2、5、3,试利用(2)中的结论求△ABC的面积.

图2

试题探究

(1)试题解法探究

对于解题,波利亚曾说过:解题的成功,要靠正确的转化.解决问题的过程是创造性的思维活动过程,其重要特点是思维的变通性和流畅性.当我们面临的问题难于入手时,不应将思维停留在原问题上,而是将原问题转化为较熟悉、容易解决的问题(化归思想).

解(1)S=6,S1=9,S2=1.

设计意图本题第(1)问实际上是对第(2)问的提示,这样做有助于降低思维的难度,给学生解题提供一个宽松的入口,也为后面的过程作了一点暗示.三个问题的设置不是简单的重复,而是步步深入,只有拾阶而上才有可能使问题解决..而S=ah,所以S2=4S1S2.

设计意图“一题多解”是教师最常用的教学方法,也是学生最喜爱的解题学习方式,通过“一题多解”优化解题过程,既新颖,由独特的“最佳解”使学生思之广、悟之深、爱之切、难之忘;解题教学中,适当应用“一题多解”,可以激发学生发现和创造的求知欲望,加深学生对所学知识的深刻理解,增强学生对数学思想和方法的娴熟运用,锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性;同时使学生有一种成就感,最大限度地增强学生的应用能力和思维能力,提高学习的实效性、实效性和发展性.

(3)解如图3,过点G作GH//AB交BC于H,则四边形DBHG为平行四边形.所以 ∠GHC= ∠B,BD=HG,DG=BH.因为四边形DEFG为平行四边形,所以DG=EF.所以BH=EF.所以BE=HF.所以△DBE≌△GHF.所以△GHC的面积为5+3=8.由(2)得,四边形DBHG的面积为所以△ABC的面积为2+8+8=18.

图3

设计意图第(3)问具有一定的隐蔽性,通过适当添加辅助线,把问题转化为第(2)问,更有助于学生对知识的应用.这告诉我们在平时的教学过程中,要善于对问题进行变式,让学生真正懂得问题的本质、把握问题的核心思想,培养学生解决问题的能力.

(2)模型结论探究

根据学生的认知规律,结合探索性问题结论进行动态研究,培养学生从特殊到一般的思想、运动变化思想等数学素养提升学生思维深度的有效途径.下面我们来探究本题的相关结论.

如图4,在△ABC中,DE//BC,EF//AB,设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△EFC的面积为S2,四边形DBFE的面积为S3.试探究S、S1、S2、S3之间的数量关系.

图4

图5

如图5,平行四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,设平行四边形DEFG、△ADG、△GFC、△DBE的面积分别为S、S1、S2、S3.试探究S、S1、S2、S3之间的数量关系.

(3)试题模型拓展

题目变式包括条件探究(增加、减少或变更条件)、结论探究(结论是否唯一)、引申探究(命题是否可以推广)等等.利用此类变式方法可使学生掌握一类题的解法,笔者称之为“解题通法”.通过上述研究,同学们已经建立了数学模型,再把该模型具体化,我们可以得到如下试题.

例1 如图6,在△ABC中,DE//BC,BC//GH,EF//AB//HI,若 已 知S△ADE= 36,S△HIC= 9,S△ABC=121.求四边形GHIF的面积.

图6

图7

例2 如图7,已知正方形DEFG内接于△ABC,S1=4、S2=3、S3=1,那么正方形DEFG的边长是多少?

(4)试题模型延伸

注重图形的内涵拓展,改变问题的呈现方式,突出对数学思维能力的考查,培养学生灵活运用数学思想方法分析问题、解决问题、探索创新以及灵活多变的思维能力(3)试题模型拓展.有可作如下改编.

例3 如图8,已知△ABC,D为BC上一点,DG//BC,平行四边形DEFG的边EF在直线BC上.求证:S四边形DEFG≤

图8

例1、2、3设计意图创造性地使用素材是教学中的一个永恒话题,教师有效地开发利用素材资源,使试题内容更加丰富,从而让试题发挥出新的活力,更好地服务于教学,这是提高课堂效率的必然选择.因此选择符合初中生特点的教学素材,并引导学生分析、整合、拓展、创新,进行新的建构,从而发展学生解决问题的能力,对于我们一线教师来说任重道远.作业设计:

某人用一张面积为S的三角形纸片ABC,箭出一个平行四边形DEFG.记四边形DEFG的面积为T.

图9

图10

备用图

备用图

(1)如图9,如果平行四边形DEFG的顶点都在的△ABC边上,D、G分别为AB、AC的中点.求T(用S表示).

(2)如图10,如果平行四边形DEFG的顶点都在的△ABC的各边上.求

(3)对任意剪得的平行四边形DEFG,还成立吗?请说明理由.

作业设计意图适当淡化训练模式的学术性和“学研气”,使训练呈现生活化、情趣化、探究性、开放性和互动性.结合学生身边的生活情境设计训练习题,鼓励学生在情境资料中产生问题自主探究,不求唯一的标准答案,追求让学生有兴趣有创意地参与训练,巩固基础.

教学感悟

构建主义学习观认为学习过程包括两个方面的建构,一方面是对新信息的意义的建构,另一方面是对原有经验的改造和重组.建构主义教学观强调:教学应在教师的指导下,以学习者为中心,教师的作用由传统的传递知识的权威转变为学生学习的辅导者、合作者和高级伙伴.

纵观近几年的中考,一些中考题来源于传统的经典试题,对其作一些变形、变式、加强、引申、拓展等,这告诉我们在平时的教学过程中,要通过对一些典型的试题作深入研究,如对问题的解法做深入探讨,挖掘一题对解和最优解,引导学生去思考、去探究、去创新,做到一点带线、以线带面,从而达到巩固知识,培养能力,提高学生综合素质的目的这告诉我们在平时的教学过程中,数学问题是多样化的,教师要引导学生一题多解、一题多变的练习,但不要一味地追求教学形式的多样化,为应注重教学过程,由目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究你“变”的规律,使所有的知识融会贯通,使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔,这样才能收到事半功倍的效果.

总之,要通过本专题的复习,帮助学生将零碎的图形面积知识系统化,将隐含的图形面积性质显性化,将常见的图形面积计算方法化,将粗浅的图形面积思维深刻化,学会灵活应用图形面积来智慧地分析问题,巧妙地解决问题,提升学生的核心数学素养,进而使得本专题的复习既符合课标要求,又切合中考需要,切实提高复习课的效度,让不同的学生通过本节课的复习得到不同层次的发展.

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