一些球对称射影平坦的Finsler度量的构造

耿杰, 宋卫东

(1.安徽信息工程学院,安徽 芜湖 241000;2.安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽 芜湖 241000)

一些球对称射影平坦的Finsler度量的构造

耿杰1, 宋卫东2

(1.安徽信息工程学院,安徽 芜湖 241000;2.安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽 芜湖 241000)

研究刻画球对称Finsler度量的射影平坦性质的偏微分方程,通过对射影平坦Finsler度量PDE的研究,构造了两类球对称射影平坦Finsler度量,得到了一些球对称的射影平坦Finsler度量,并进一步给出这些Finsler度量的射影因子和旗曲率.

球对称;射影平坦;旗曲率;Finsler度量

1 引言及主要结论

由于有着广泛的应用背景,Finsler几何越来越引起人们的关注[1−7],并取得了许多重要的成果.Finsler几何中的一个基本问题是研究在开区域U⊂Rn中射影平坦的特征.Finsler度量在U上射影平坦是指其测地线为直线,这是Hilbert第四问题的一般情形[1].1903年,Hamel[2]证明了Finsler度量F=F(x,y)在U上是局部射影平坦的充要条件为：Beltrami定理表明一个Riemann度量是局部射影平坦的当且仅当它具有常截面曲率.Finsler几何中的旗曲率是Riemann几何中截面曲率的自然拓广.

设F=F(x,y)是具有Scalar旗曲率的射影平坦Finsler度量,那么旗曲率K是TU上的一个 Scalar函数,即

其中

表示射影因子[7].

如果Finsler度量F(x,y)是球对称的当且仅当F(x,y)满足

球对称Finsler度量是对Finsler度量的进一步研究.而射影平坦Finsler度量也是对Finsler度量的特征的丰富.那么球对称的Finsler度量与射影平坦的Finsler度量之间存在着什么样的关系呢?对于这个问题,我们有如下结论:

定理1.1[7]设

是Bn(r)上的球对称Finsler度量.则F=F(x,y)是射影平坦的当且仅当ϕ=ϕ(b,s)满足

其中

ϕb表示ϕ对b一次偏导.

本文通过对射影平坦Finsler度量PDE的研究,构造了两类球对称射影平坦Finsler度量,并分别给出了这两类球对称射影平坦Finsler度量的射影因子和旗曲率.

定理1.2设

是在Bn(r)的球对称Finsler度量,若

其中λ,C1,C2是任意常数,那么以下结论成立:

(1)(1.4)式所给出的在Bn(r)上的球对称Finsler度量F是射影平坦的.它的射影因子P表示为

(2)该Finsler度量F具有Scalar曲率,它的旗曲率K 表示为

其中

注1.1当λ=0,C1=C2=1,

是Randers度量.它是球对称射影平坦Finsler度量,它的射影因子P表示为

它的旗曲率K表示为

定理1.3设

是在Bn(r)的球对称Finsler度量,若

其中C是任意常数,那么以下结论成立:

(1)(1.2)所给出的在Bn(r)上的球对称Finsler度量F是射影平坦的.它的射影因子P表示为

(2)该Finsler度量F具有Scalar曲率,它的旗曲率K 表示为

2 定理的证明

现在考虑下列PDE

的解.其中ϕ=ϕ(b,s).

2.1 定理 1.1的证明

若

将(2.2)代入(2.1)得到

其中 ”′”表示对x求一次偏导.

由(2.3)得

其中λ是一个常数.

(2.4)等价于

和

(2.5)的通解为

和(2.6)的通解可表示为

然后,联立(2.7),(2.8),得到(2.1)的一个通解,

其中C1,C2都为任意的常数.

2.2定理1.2的证明

再令

将(2.10)代入(2.1)我们得到

其中 ”′”表示对x求一次偏导.对(2.11)进行变形,得到

其中λ是一个常数.

(2.12)等价于

和

(2.13)的通解可表示为

和(2.14)的通解为

由此,联立(2.15),(2.16)可以得到(2.1)的另外一类通解,

其中C1,C2,C 为任意常数.

现在研究由 (2.9),(2.17)所确定的两类射影平坦 Finsler度量,并求出它们射影因子和Scalar旗曲率.

首先来求由(2.9)所确定的射影平坦Finsler度量的射影因子和Scalar旗曲率.

设

所以,可得

是一个球对称射影平坦Finsler度量.

通过一个简单的计算,得出

通过 (3)知

通过(2)得到

其中

由(2.18),(2.19),(2.20)得出

下面来求由(2.9)所确定的射影平坦Finsler度量的射影因子和Scalar旗曲率:

设

其中C是任意常数.

所以,

是一个球对称射影平坦Finsler度量.

通过一个简单的计算,可得

通过 (3)有

可得出

通过 (2)知

联立(2.21),(2.22),(2.23)得到

即得证.

[1]Hilbert D.Mathematical problems[J].Bull Amer Math.Soc.,2011,37:407-436.

[2]Shen Z.Projectively fl at Finsler metrics of constant fl ag curvature[J].Trans.Amer.Math.Soc.,2003,325:1713-1728.

[3]Hamel G.Uber die Geometrieen in denen die Geraden die Kürzesten sind[J].Mathematische Annalen,1931,104:672-699.

[4]Chern S S,Shen Z.Riemann-Finsler Geometry[M].Singapore:World Scienti fi c,2005.

[5]莫小欢.黎曼-芬斯勒几何基础[M].北京:北京大学出版社,2007.

[6]Cheng Y,Shen Z.Finsler Geometry[M].Beijing:Science Press,2012.

[7]Huang L,Mo H.A new class of projectively fl at Finsler metrics in terms of hypergeometrics functions[J].Publ.Math.Debrecen,2012,81:421-434.

Spherically symmetric Finsler metrics with scalar fl ag curvature

Geng Jie1,Song Weidong2
(1.Anhui Institute of Information Technology,Wuhu 241000,China;2.College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

By investigating a PDE equivalent to these metrics being locally projectively fl at we create projectively fl at spherically symmetric Finsler metric in terms of error functions.Subsequently we obtain its projective factor and fl ag curvature.

quad spherically symmetric,projectively fl at, fl ag curvature,Finsler metric

O186

A

1008-5513(2017)05-0496-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.007

2017-03-10.

国家自然科学基金(11071005);安徽省自然科学基金(KJ2017A795).

耿杰(1987-),硕士研究生,讲师,研究方向：微分几何.

宋卫东(1958-),教授,研究方向:微分几何.

2010 MSC:53C60,53A20