椭圆参数方程探究

张鹏宇

山东省青岛市第五十八中学 (266100)

椭圆参数方程探究

张鹏宇

山东省青岛市第五十八中学 (266100)

下面分别选用很直观的两个量——极角与切线倾角为参数，给出了椭圆的两种参数方程.

一、以极角为参数的椭圆的参数方程

回忆一下圆的参数方程：教材中给出的圆x2+y2=r2的参数方程为x=rcosθ，y=rsinθ，参数θ是圆上点P(x,y)与圆心连线绕圆心相对于x轴的正方向的旋转角.结合前面刚学过的教材中的极坐标知识，发现参数θ恰为圆上点P(x,y)的极坐标中的极角.类似的，下面选取椭圆上点的极角作为参数，构造出了椭圆的另外一种参数方程.

左半椭圆的参数方程为

右半椭圆的参数方程为

证明：

(一)先讨论右半椭圆的参数方程

(二)再讨论左半椭圆的参数方程

二、以切线倾角为参数的椭圆的参数方程

(一)切点P在第一、二象限时.

(二)切点P在第三、四象限时.

此时切线斜率k=tanθ，m<0，故m=

三、结语

圆锥曲线的参数方程是高中数学中的难点内容之一，只有真正理解了方程中的参数含义，才能有效掌握与灵活运用这一部分知识.椭圆作为一种重要的圆锥曲线，其参数方程必须得到重视与掌握.

教材中椭圆的参数方程以离心角作为参数，虽然参数方程形式简单，但是离心角作图复杂，不易直观理解.为了体现参数方程中参数的直观易懂性，本文选用极角与切线倾角作为参数分别构造了椭圆的另外两种参数方程.

将本文给出的两种参数方程与教材中给出的参数方程对比学习、相互参考，对理解与掌握椭圆参数方程部分的相关知识十分有益.

[1]中学数学教材实验研究组等.普通高中课程标准实验教科书——《数学》(选修4-4)[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]梁峻峰.双曲线的一种参数方程[J].数学教学，1988(4).

[3]王琦.圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].科学大众，2007(1).