一个三角不等式的求解及推广

史建军

江苏省丹阳高级中学 (212300)

一个三角不等式的求解及推广

史建军

江苏省丹阳高级中学 (212300)

1.问题的提出及求解

由柯西不等式可知：

2.问题的变形

3.问题的推广

“=”当且仅当圆内接n边形A1A2…An为正n边形时成立.

图1

证明：如图1，设圆心为O，连结A1O,A2O,…,AO，设∠A1OA2=θ1,∠A2OA3=θ2,…,∠AnOA1=θn，则由余弦定理有

l21=R2+R2-2R·Rcosθ1，l22=R2+R2-2R·Rcosθ2，…，l2n=R2+R2-2R·Rcosθn.

引理任意四面体的各棱长平方和不大于其外接球半径平方的16倍，即：设四面体ABCD的6条棱长分别为l1,l2,…,l6，外接球半径为R，则l21+l22+…+l26≤16R2.“=”当且仅当四面体的重心和外心重合时成立.

证明：以四面体的外接球球心(外心)为原点建立空间直角坐标系，则各棱长平方和为