例析“人船”模型在动量守恒定律教学中的应用

吴思岑+闫嘉琪+张健

摘 要：“模型法”是高中物理习题教学的基本方法之一。本文从“人船”模型的建立出发，探讨了“人船”模型的特点、规律、实质及其应用。

关键词：人船模型；动量守恒；习题解析

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）9-0052-3

“人船”模型是力学问题中一个十分典型的物理模型，也是动量守恒问题中的一种特殊情形。其物理过程类似于反冲模型，以人在船上运动为原型，所以称为“人船模型”问题。掌握其特点、规律和实质，可以解决很多“形异质同”的问题，对于培养模型解题法也是一个很好的典例。

1 模型的建立

如图1所示，长为L，质量为M的小船静止在静水中，一个质量为m的人立在船头，不计水的阻力，当人由船头走到船尾的过程中，此船的位移是多少？

解析 在人從船头走到船尾的过程中，由于人和船组成的系统在水平方向上不受外力作用，所以系统在水平方向上动量守恒。

解答 设人的速度大小为v1，船的速度大小为v2，如图1所示。人运动的位移大小为s1，船运动的位移大小为s2，选人运动的方向为正方向，则有mv1-Mv2=0。

点评 以上就是典型的“人船”模型，人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关，与运动情况无关。

2 模型的基本规律

2.1 力学特征

“人船”模型是由人和船两个物体构成的系统，该系统在人和船相互作用下各自运动。人动船动、人停船停、人快船快、人慢船慢，虽然相互作用的过程中人与船的运动是变速的，但运动过程中系统所受到的合外力为零保证了在运动的过程中始终满足动量守恒定律。

2.2 适用条件

（1）系统总动量守恒（常见情况是系统内两个物体原来均处于静止状态），或在系统内各物体发生相对运动的过程中，至少有一个方向上（如水平方向或竖直方向）合外力为零，即该方向上动量守恒。

（2）上式中s1、s2均为动量守恒方向且是对于同一参照物的位移。

（3）所求问题仅涉及物体的位移，不涉及速度。

2.3 解题关键

画出相互作用过程中物体位移的关系草图，要注意两个物体之间对于地面的移动方向和两个物体位移大小之间的关系是解决本类问题的关键；而人和船的位移关系满足ms1=Ms2。可见，位移与人的运动状态无关，不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的末端，结论都是相同的。

3 模型的应用

将“人船”模型的研究对象、空间变换，情景变换以及将问题目标扩展，但只要满足模型条件，均可利用（1）（2）关系式解决。

3.1 把“人船”模型变为“人车”模型

如图2所示，质量为M的平板小车静止于光滑水平面上。质量为m的人从车左端走到车右端的过程中，车将后退多远？

3.2 变“一船”为“两船”

如图3所示，两只质量均为M=120 kg的小船在静水面上静止，相距L=10 m，两船间用一绳连接。在甲船头有一质量为m=60 kg的人以恒力F拉绳，不计水的阻力，则两船相遇时，各前进了多少米？

3.3 把“人船”模型变为“弹靶”模型

某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶总质量为M，枪内有n颗子弹，每颗子弹质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹射出枪口时对地速度为v0。在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已射入靶中，则在发射完71颗子弹时，小船后退距离为多少？

解析 系统动量守恒，每发射后一颗子弹，前一颗子弹已进入靶中。由模型公式知：

3.4 把“人船”模型变为“球”模型

如图4所示，质量为m、半径为r的小球，放在内半径为R、质量为3m的大空心球内。大球开始静止在光滑水平面上，当小球由如图4中位置无初速度释放沿内壁滚到最低点，大球移动距离为多少？

解析 此问题的研究对象变换为两个球体，空间由一维水平情况变换为竖直面内的二维情况，但水平方向仍满足人、船模型，难点在于位移关系的求解，见图4。

3.5 把“人船”模型变为“斜面”模型

如图5所示中，物体A和B质量分别为m 和2m，其直角边长分别为a=0.2 m，b= 0.1 m ，a'=0.8 m ，b'=0.4 m ，B与水平面间无摩擦，开始静止。当A从B顶端由静止下滑至底端时，则A发生的位移为多大？

参考文献：

[1]汪志云.“动量守恒定律”的学习进阶教学[J].物理教学探讨，2016，34（7）：66-68.

（栏目编辑 陈 洁）endprint