数学教学中培养思维能力的探索

黄敏芝

通过数学教学养学生直觉思维、发散思维，提高学生的创造思维能力。

一、启迪直觉思维

美国心理学家布鲁纳说：“直觉思维是以熟悉的知识领域及其结构为依据，使思维者实行跃进、超级和采取捷径，并用比较分析、验证结果的一种快速思维形式”。可见，直觉思维是数学发现的一种重要方法，在数学教学中，应予以重视。例1、已知3（a-b）+3（b-c）+（c-a）=0（a≠b），求（c-b）（c-a）/（a-b）2的值。分析：由3=（3）2，故直觉告诉我们，该题设条件在形式上与一元二次方程的形式相似，于是可通过构造一元二次方程来解决问题。由题意，3一定是方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0的一个根，又（a-b）+（b-c）+（c-a）=0，故1是该方程的另一根，由韦达定理得3+1=c-b/a-b，3.1=c-a/a-b，所以（c-a）（c-b）/（a-b）2=3（3+1）=3+3.

例2、已知：梯形ABCD，直角腰上的中点E到斜腰的距离是5㎝，斜腰CD的长是10㎝，求此梯形的面积。

分析：直觉判断该梯形的面积=CD·EF=50㎝2，而CD·EF与求平行四边形的面积相似，于是可通过构造平行四边形来解决问题`。过E点作CD的平行线交BC于G，交DA的延长线于H，由于E是AB的中點，所以Rt△BGE≌Rt△AHF，所以ABCD的面积=GCDH的面积=CD·EF=50㎝2

为此，教学中应常常告诫学生：拿到问题不要轻易下手，要多看看，多想想，运用直觉去寻求解决问题的途径。这正如布鲁纳所说：“应当鼓励学生去猜想。”

二、培养发散思维

发散思维是创造性思维的核心在数学中可通过典型例题的一题多解、一题多用、多题一解来培养学生的发散机智，实现和提高思维的流畅性，通过对典型例题的多变（变条件、变结论、变命题），引申拓广以及转向思维，培养学生的转向机智，实现和提高发散思维的变通性。

1.充分发挥和挖掘课本例题的功能。

教材中的例题给出的解法是有限的，如果我们对所有例题只限于课本的解法，不作深入研究，不求解法有新的突破，例题教学中不敢于开拓创新，这只能使学生的思想僵化，死套模式，陷入机械学习的泥坑。把教材中的例题、习题讲得精一点、深一点，探求题型的变通，无疑对学生的发散思维，培养学生的创造能力是大有裨益的。下面我们不妨看一例：

例1：如图1、⊙O1和⊙O2外切于A点，BC是⊙O1和⊙O2的外公切线，BC为切点，求证：AB⊥AC （见初中几何第二册P124例）

图1 图2 图3

此例题是一个内涵十分丰富的例题，它的拓广见于多种数学刊物，它的证法有多种，还可以进行多种变形练习，教师应抓住此种例题给学生进行多角度思维训练，下面仅给出三种变形练习，教师讲完课本解法后可进行下列分析。

分析：如图1、若能证得∠ABC+∠ACB=90°，不也同样能证明此题吗？如何证呢？因为BC是外公切线，所以连结O1B，O2C，O1O2，则有O1B⊥BC，O2C⊥BC，因此，O1B∥O2C，由于∠ABC与∠ACB都是弦切角，可得∠ABC=1/2∠O1， ∠ACB=1/2∠O2，所以∠ABC+∠ACB=（∠O1+∠O2）=90°，由此得证法㈡（证明略）， 从这一问题出发可得新命题：

如图2、如果⊙O1与⊙O2不是外切，而是相交于点A、D，那么∠BAC+∠BDC=？，我们可以猜想到等于180°。这是因为比较图1与图2后发现，只要将图2中的两圆向两边拉一拉变为外切，则∠BAC与∠BDC就会重合起来，变为图1中的∠BAC，如何证明∠BAC+∠BDC=180°呢？显然连结AD，利用∠ABC=∠ADB，∠ACB=∠ADC及ΔABC的内角和就可以证得。

我们还可将上面命题进一步探索：在图1中，O1、A、O2是共线的，设想⊙O1与⊙O2外离，连结O1O2交⊙O1于A，交⊙O2于D，那么，是不是有直线BA⊥CD呢？这就要看是否有∠ABC+∠DCB=90°？回顾一下上面证法㈡（图1），不难得出肯定答案。

如果继续探索，还可以得出许多新的结论，限于篇幅不一一列出。

2.从多方面看问题，正确处理正向思维与逆向思维的关系。

有些问题正向思维比较繁，如果改为逆向思维，则能化繁为简，好多例子都能说明，这里就不一一列举了。

总之，非常规解法的获得是建立在各种常规解法基础之上的，只有让学生清晰、牢固地掌握好基本概念、基本定理和一般的解题思路，才能在教师的潜心引导下适时进行非常规解法探讨，以达到培养创造性思维能力的目的。

参考文献：

[1]《实用中学数学解题思路策略与方法技巧大典》

[2]《来自教改实践的报告》endprint