浅谈初中几何中分类讨论的教学策略

陆洋

摘 要：在中学数学教学中，分类讨论的重要性十分突出。要提高学生对分类讨论的重视，弄清楚引起分类的原因、明确分类讨论的标准、遵循分类讨论的步骤、掌握分类讨论的方法。分类讨论是解决数学问题的一种策略，也是训练学生思维方法、培养思维能力的重要手段。

关键词：分类讨论；重合面积；例题

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）29-0041-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.29.022

数学学科十分重视不同解题思路和方法的探究和运用，根据不同题目的类型，采取最为合适的解题方法，同时探究其他解题思路，这有助于学生发散性思维的培养。分类讨论思想在初中数学教学中的应用就验证了这一种教学思路的渗透。

翻阅苏州各市区近几年一模卷和苏州市中考卷，发现那些开放性、探索性较强的试题往往会作为压轴题，而学生往往失分严重，究其原因，是由于考生逻辑推理能力不强，分类讨论思想缺失，或者解题不严密所致，因此训练这方面能力是非常必要的。

一、确立分類讨论思想的重要性

分类讨论是指在解决数学问题的过程中，根据问题中所出现的多种情况和可能性，分别进行研究的一种常用的数学思想方法。

分类讨论思想一旦以压轴题的形式出现，就会让学生无从入手。因此中考复习要到位，分类讨论这方面问题，必须在平时课上就加以铺垫，化整为零，让学生经常可以感受到分类思想，不要到临考前才临阵磨枪。

二、如何进行分类讨论的教学

分类情况可分为：数学概念的内涵需要分类讨论；问题中的条件需要分类讨论； 问题中的变量需要分类讨论；形状、位置的变化需要分类讨论。

教师必须能全面、熟练地掌握初中数学教材中的所有概念、性质、定理。只有这样，在教学的过程中教师才能更好地运用自己所掌握的东西，使学生对分类讨论思想有系统、全面的理解，让学生能掌握直至熟练运用分类讨论思想。

代数型分类讨论，如绝对值化简，方程根的个数，函数图像性质，二次函数最值等；几何型分类讨论，如求等腰三角形第三边，直角三角形的第三边，相似三角形的分类讨论等；以上问题通过例题、课后作业，可以有效解决，让学生轻松上手。但是综合起来以后，学生有时就很难理解，下面具体来谈一下，如何有效地让学生学会计算“几何重合面积”的方法。

对于几何类型的分类讨论，在课堂教学中，要训练学生，让他们画出几何图形，特别是训练读题画图，在做作业乃至考试的时候，涉及几何的题目，如果原题没有配图，一定要培养他们画图的习惯，对图形有很好的感觉，会对分类讨论有着最直接的帮助。课堂上，教师也应该经常在学生面前画图，并介绍如何利用直尺、圆规等工具，把几何图形画得尽量准确，不要为了省事，总放些课件，把很好的训练机会白白浪费掉。训练寻找题中的特殊角度、坐标、特殊的边的比值等。有时解题的关键就是这些容易疏忽的条件。运动的图形，必须从起点开始画，要学会画出分类情况的临界状况，这是求自变量取值范围的关键，这种过度图形都是很特殊的位置，对于计算是很有帮助的。

例1：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，-12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y=-2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.问S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

分析：

（1）利用对称轴，可求出B坐标，用A、B、C坐标求抛物线解析式。

（2）关键要判断一组平行的对边是什么，因此先求出直线PB的解析式，可知与直线y=-2x的k相等，所以直线PB//OD，所以只需OP=BD，用勾股定理列出OP和BD，解方程，最后检验是不是只有一组对边平行，当x=2时，OD=PB，此时四边形OPBD为平行四边形，舍去。

（3）做这小题时，有一条运动的直线，经过自己动手探索，发现△PMN翻折后，有两种情况，如图3、4，即重合部分是三角形或者是四边形。

有的学生画不出图，寸步难行，有的学生只会画出图，至于如何计算，无从下手。教师要先鼓励学生根据原图画出翻折图像，这样的全等图形，相信只要去尝试，可以临摹出一模一样的翻折图形，如果成功的话，接着可以让全班同学一起参与画出不一样的图像，并且一起分析这些“不同的图像”的相同之处，从运动的起点到终点，整个运动过程可总结出有两种重合部分的图像。下面要讨论出这两种情况的分界点，也就是重合部分是三角形的最后时刻，通过刚才画图的过程，可知点P翻折后正好落在x轴上。

分析完后，进入计算阶段，这条运动的直线，是以M为主体，画出的与x轴平行的直线，由速度可得PM=t，下面又是学生碰到的难题，其实，题中包含着很多的特殊三角形（特殊三角形包括等腰直角三角形、含30°的直角三角形，或者边的比值是定值的也算是特殊三角形），这是要告诫学生，必须根据条件，去探索题中是否有特殊三角形，经过（1）（2）题的计算，图3、4中可以得出△POD，△POG是等腰直角三角形，△PDB中BD：PD=1：2的直角三角形。因为相似，可知△PMH是等腰直角三角形，△PHN的直角边也是1：2，用t可以表示MN、PH，面积也就迎刃而解了。

这道题的分类思想根据画图得出，因此，让学生从图像变化的起点出发，寻找临界状态，进而画出动起来后的不同形式，再经过分析完善分类，最后进行计算。计算过程一定要利用已知条件，寻找特殊图像。几乎所有类似的题目，都有可以利用的图形。

三、学生如何掌握分类讨论的思想

正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏。分类讨论的原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个分类标准；分类讨论应该逐级进行。

分类的基本步骤为：明确分类主体；按条件合理展开分类；根据类型逐项进行讨论；归纳分类结果得出答案。通过平时课内和课后对画图的训练、压轴题中给出的点坐标、特殊三角形的寻找，通过从动点起止状态的分析的训练，学生可以逐渐掌握几何重合面积的解决方法。

四、教师要把主动权还给学生

学生之所以对分类讨论问题惧怕，无非是因为不知道什么题目要进行分类讨论，或分类不完全、漏解，只要突破这两个难点，学生以后碰到此类问题，就会迎刃而解了。在课堂教学中，教师要把主动权还给学生，要产生真切的师生互动，使讨论具有实效。这样，在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中。学生一旦尝到努力探索的成就感，久而久之，就会更加喜欢学习，愿意学习。

参考文献：

[1] 顾仁岳.例谈初中几何教学中分类讨论[J].中学数学研究（华南师范大学版），2015（18）：38-39.

[2] 董佩珊.在初中数学教学中渗透分类讨论思想的教学策略[J].中学数学研究（华南师范大学版），2015（24）：22-24.

[3] 陆银.初中数学课堂教学中分类讨论法的应用[J].数理化解题研究（初中版），2015（4）：19.

[4] 肖毓强.浅析分类讨论思想在初中数学教学中的运用[J].新课程（中），2016（32）：45.

[ 责任编辑 林 娜 ]endprint