巧借“模型”，搭建数学素养提升的桥梁

潘倩萍

摘 要：借助模型来教学，教师需要借助其直观形象性，使学生能接受教师的教学；同时要在生活中寻找实例来丰富模型，使他们感受到模型的生活价值所在；然后引导学生大胆寻找可以拓展的实例，增进学生创新与应用模型的意识；最后要引导学生从内心认同模型的意义，培养积极的学习态度。

关键词：数学模型；学习素养；探究；志趣

有效的数学学习要实现“举一反三”，即让学生在数学学习中能够触类旁通，解决同类问题，为了达到这一效果，教师必须“授之以渔”。怎么实现“渔”的传授？似乎一言难尽，学生接受了“渔”，能否高效率“捕鱼”？好像也一片茫然……

近年来，对小学数学建模的讨论越来越多，建模是实现有效学法指导的基础。“数学建模”，即把现实中的实际问题提炼、抽象为数学模型，求出模型的答案，检验其合理性，并用这个数学模型来解决现实生活中的问题。借助模型来教学，旨在搭建一座学生数学学习素养提升的桥梁，从知识与能力、过程与方法、情感与态度等多个角度促进学生学习品质的提高。

一、树立意识，搭建模型与直观之桥

很多同行认为数学规律本身是简单的，课堂教学的重点应该放在规律的运用上，这就忽视了模型得出的过程，使数学知识建立在一知半解的基础上，给学生今后的学习留下了凭感觉、想当然的阴影。比如算式5×3与3×5表示不同的意义，但由于乘法交换律的运用，学生就会将不同的意义模糊化甚至等同起来，如何防止知识的负迁移成为数学教师必须思考的问题。

其实对学生而言，数学规律背后的模型是非常重要的，建模使数学知识变得理性。由于小学生的认知离不开直观形象思维，所以搭建模型与直观之间的联系非常有必要。

以人教版小学数学四年级下册“乘法交换律”为例，我们可以出示一幅图（如图1），让学生用不同的方法来列式求总数：图中表示小明爸爸整齐地种了3行树，每行5棵。用加法算是5+5+5=15（棵），用乘法算是5×3=15（棵）；如果从列的角度来分析，小明爸爸种的是5列树，每列3棵，此时用加法算为3+3+3+3+3=15（棵），用乘法算为3×5=15（棵）。所以5×3与3×5表示的意义不一样，但它们的结果是一样的。在进行了几次同类尝试与比较后，教师可以把具体数字换成a与b，所以a×b=b×a（如图2）。这样的图示，可以看成是乘法交换律的直观模型，它只表示不同运算方式的结果相同，而其算式的意义是不一样的。这样就沟通了乘法的意义与乘法交换律之间的关系，甚至把加法与乘法之间的关系也清晰地表达出来了，使知识形成的轨迹非常清晰，避免了互相之间的干扰，促进了数学学习方式从只求结果到重视过程的转变。

二、追根溯源，搭建模型与现实之桥

“建模”，其实就是帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型的过程并进行解释和运用。以下结合两位教师利用同一素材教学“减法”的片段进行分析。

片段1

师：（出示两幅图）从这两幅图中，你看到了什么？

生1：我看到了图上有7个小朋友在浇花，后来有3个小朋友走了，剩下还有4个小朋友。

师：你真棒！还可以怎么说？

生2：原来是7个小朋友一起在花园里，后来走掉3个小朋友，剩下的就只有4个小朋友了。

师：很好！那你说应该怎样列式计算呢？

生：7-3=4。

教师竖起大拇指，然后板书，接着教学减号、被减数、减数、差等概念及算式的读法。

片段2

师：（出示图画）请大家分别观察两幅图，这两幅图的意思连起来表示什么呢？

生：我发现左边图上有7个小朋友在花园里，后来右边的图上走掉了3个，只剩下4个小朋友了。

师：嗯，你观察得非常细心，那你能按这个意思提出一个问题吗？

生：本来有7个小朋友在花园里浇花，后来走了3个，还剩下几个？

师：对，现在我们用小三角形代表图上的小朋友，把这个变化的过程摆一摆，看谁摆得又对又快。（教师巡视指导学生操作，然后请一位学生将小三角形摆在黑板上情境图下面）

师：很好，如果有7个小朋友在公园里浇花，后来有3个小朋友走，剩下的是4个；同样，我们如果有7个小三角形，拿掉其中的3个，剩下的也是4个，这两种情况我们都可以用同一个算式表示——

生：7-3=4。

师：这里的7表示什么？3和4又表示什么呢？

……

师：真好！大家再想一想，7-3=4 还可以表示什么呢？请同桌互相说一说，然后我们进行全班交流。

生1：箱子里有7瓶矿泉水，喝掉3瓶，还剩4瓶。

生 2 ：树林里有7只小松鼠在一块儿玩，跑走了3只，还剩4只。

……

相比較而言，在上述第一个片段中，教师的教学停留在知识传授的层面，就事论事，一览无余。第二个片段除了能够充分展示知识形成的过程之外，还能有机渗透数学建模，训练学生从具体形象中抽象出数学知识的能力，并借助实际操作进行知识内化。还通过联想让知识进一步得到推广与运用，使7-3=4有了更多的生活原型，体现了模型的意义。可见，让学生在课堂上还原数学模型形成的过程，这将使数学真正走向生活化，与儿童的生活息息相关而充满情趣。

三、未雨绸缪，搭建模型与拓展之桥

运用建模来进行小学数学教学，要为学生今后的学习提供有效的迁移手段，使之承上启下，纵横贯通。比如三年级“元角分”的教学。

师：你知道“0.6元”到底是多少钱吗？

生：0.6元就是6角。

师：老师用一个长方形来表示1元 （多媒体展示），你能从这个长方形中涂出表示0.6元的那一块吗？

生：1元就是10角，把1元平均分成10份，每份正好是1角，所以6份正好就是6角。

师：对，那我们以前学过的知识中，有什么也是这样把一个图形平均分成多份，然后通过涂出其中的一部分来表示需要的那个数的呢？

生：分数。

师：对，0.6元用分数表示是多少元呢？

生：元。

师：太好了，原来 0.6 元就相当于元！现在老师还买了一块橡皮，它的价格是 0.9元，那么0.9元是多少钱？如果我们现在再用这样的长方形表示 1元，那 0.9元又该怎么涂呢？

师：接下来我们再来看看笔记本的价格，（出示图）请看图，你知道它的价格了吗？刚才的小数是“零点几”的，现在怎么成了“一点几”了呢？

生：因为现在老师展示的有两个长方形，第一个颜色是满的，那它表示的是完整的1元。第二个长方形平均分成10份，其中涂色的正好是4份，表示4角，就是0.4元，这样两个长方形合起来表示的是1.4元……

上述教学过程紧紧围绕小数与十进位分数间的联系而展开教学，让学生充分探索。借助直观图形，让学生画出了一位小数的模型，这种模型是小数与分数间转换的凭据，也为后边两位、三位小数学习时的画图表示打下了基础，所以具有很大的拓展功能，可见有效的建模教学能使数学知识框架化与系统化，有利于知识的归类复习。

四、深入本质，搭建模型与志趣之桥

“兴趣是最好的老师”，但志趣是兴趣的高级阶段，它是学习者对学习内容本身的兴趣而引发的。借助建模，我们可以有效引導学生的数学学习兴趣向志趣转变。在教学“鸡兔同笼”问题时，有位教师借助“三步走”实行了对“‘鸡兔同笼为什么让古今数学家着迷？”这一问题的有效引导。

第一步：激疑

“生活中你见过有人把鸡和兔放在一个笼子里饲养，并且去数头和脚的事吗？我们的祖先为何要把 ‘鸡兔同笼流传至今？” （打出问题：“鸡兔同笼”问题为什么让古今数学家着迷？）——针对“原生态”的 “鸡兔同笼”问题发问，部分学生一开始也认为这样的问题想出来真是脑残！但这种念头很快被“流传至今”的事实所掩盖与碰撞，在认知冲突的引领下，学生积极参与探究。

第二步：释疑

正当全班学生对老师提出的“为何着迷”一脸迷茫时，教师让学生先研究 “蛙鹅同游”和 “人狗同行”这两个问题。随后，师生共同研究“李老师在信封里放着5元和2元的纸钞，一共是8张，有34元，请问5元与2元各有几张？”并讨论这个问题和“鸡兔同笼”问题有什么相似之处。通过比较，学生发现两者有很多相同的地方，都需要求出甲乙两类事物各有几个。

第三步：释怀

站在问题的“高点”再度回望探究之旅，学生总结感受之后，教师给予强化总结。至此，学生真切感受到了模型解决问题的好处：原来模型不仅是模型，而是为了解决一大片同类问题，实现数学学习的“牵一发而动全身”。模型正是这样的数学宝典！

由此可见，借助模型开展数学教学，旨在使学习素养得到综合全面的培养：引导学生认识到模型的直观形象性，从心底能接受教师的教学；在生活中寻找实例来丰富模型，能使学生感受到模型的生活情趣性；引导学生进行大胆探究，寻找可以拓展的实例，感悟模型的应用广泛性；在总结阶段引导学生从内心认同模型的意义，可以培养积极的学习态度与情感。