思维 习惯 方法 创新——例谈小学生数学建模思想培养核心要素

黄莲花

（厦门市梧村小学，福建 厦门 361000）

思维 习惯 方法 创新
——例谈小学生数学建模思想培养核心要素

黄莲花

（厦门市梧村小学，福建 厦门 361000）

小学生数学建模思想的培养需要一个长期的培养、积累的过程，在这一过程中需要学生思维的参与，良好学习习惯的养成，贯穿每一节课的有效方法，具备敢于质疑的创新意识和能力。

思维；习惯；方法；创新；小学数学；建模思想；培养

把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想，就是我们所要培养的数学建模思想。思想是抽象的，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。但思想是可以培养的，借助知识载体，积累学习方法，通过体验感悟，最终升华认识为思想。当然，思想的培养，不是一时半会就能见效的，建模思想的培养也是如此，需要经历一个从量变到质变的长期的过程，经历一个不断积累经验的过程。建立模型和运用模型解决问题的过程就是经验积累的过程，这个过程需要学生思维的参与、良好学习习惯的养成、贯穿每一节课的有效方法，同时还必须有敢于质疑的创新意识和能力，这些是学生建模思想得以培养的核心要素。

一、以情感激活思维是前提

情绪心理学认为：个体的情感对认知活动具有动力功能。动力功能是指情感对认知活动的增力或减力的效能，即健康的、积极的情感对认知活动起积极的发动和促进作用，消极的、不健康的情绪对认知活动起阻碍和抑制作用。因此，教学时要发挥情感对认知活动的增力效能，减少或避免减力效能。

（一）创设轻松愉悦的学习情境

教师是课堂的组织者、参与者、引导者，教师的情绪对学生起着至关重要的作用。教师面带微笑，情绪高涨，传递的是一种积极向上的感染力，容易促进学生积极的、健康的情感体验，使学习活动成为学生主动进行的、快乐的事情，直接提高学生学习的积极性。反之，教师面无表情，情绪低落，有气无力，学生可能会觉得压抑，肯定会影响学习的积极性和主动性。实践表明：欢快活泼的课堂气氛是取得优良教学效果的重要条件，学生情感高涨和欢欣鼓舞之时往往是知识内化和深化之时。

（二）保持学生思维的活跃状态

海曼在《如何培养建模思想更有效地渗透在应用取向的教学》中认为：要让自己活跃起来，并积极主动地亲身体验建模过程。这样就能保证，拥有不同智力能力的学生，有机会体验各种变化。这里的活跃就是思维的活跃。教师不仅要用积极的情感拉近师生间距离，更重要的是让学生在课堂学习中始终处于积极思维的状态。

1.在新知生长点处激活。在创设问题情境中，从生活问题向数学问题转化的过程，其实是一个旧知向新知转化的过程。学生运用已有的生活经验或知识基础理解生活问题，但是转化提炼为数学问题的过程需要学生将问题与所学知识进行沟通联系的主动思维。使新旧知识在生长点处自然衔接，教师有效的问题引领是关键。

如教学《长、正方形周长的计算》一课，并非直接出示图形提问如何计算周长，而是提供一些学生经常会碰到的现象，并提出问题。诸如“给长方形的相框镶上漂亮的花边，至少需要多长的彩带？”“班级联欢会，布置教室时将长方形的黑板围上五颜六色的彩条，至少需要多长？”“教室里常用的长方形记录框边坏了，需要重新镶框，至少需要镶多长？”等生活中的实际问题，进而用问题启发思考：“你知道这些问题都是在求什么吗？”这一提问将生活问题直接指向“长方形或正方形的周长是多少？”这一数学问题。在解答“为什么是求长、正方形周长”的算理理解中进一步明确了周长的概念，又自然而然引入长、正方形周长如何计算的新知学习中。

2.在模型建立关键处激活。每一个数学模型都有其外在的表现形式，但是背后却有内涵的东西。教师如果不能够领悟其内涵及思想，教学时就可能停留在外在知识的获取，而难以引领学生向纵横方向深入思维，所学知识就难以纳入已有或后续所学的知识网络并形成体系，更无法灵活运用模型解决实际问题。因此，挖掘模型建立过程的关键环节，激发学生主动思维，往往效果甚佳。

以《长、正方形周长的计算》一课为例，很多教师在上述情境引入，揭示课题后，就从以下三个方面展开建模的教学过程。一是尝试：出示一个长方形图（标有长、宽的长度），要求学生独立尝试计算这个长方形的周长；二是说理：说说你这样算的理由？并对其中的难点之处如长加宽的和乘2的算式进行直观演示帮助学生理解算理，并引出方法的优化。三是抽象方法，建立模型：现在，你能说说长方形周长如何计算？边引导边出示：长方形的周长=长+宽+长+宽，或=长×2+宽×2，或=（长+宽）×2，然后比较一下你更喜欢哪个公式？为什么？回顾这三个过程不难发现，学生还是有思维参与的：在尝试、说理的过程学生要思考问题与信息之间的关系，要检索已有经验和问题间的关联，还要思考如何解释道理，真正知其然而知其所以然；建模阶段是对前面的回顾总结提炼，是一个由具体到抽象的过程，去除现象是本质的过程。

模型的建立一定是学生自主建构的过程，所谓自主建构，就是从一开始就要清楚要学习什么、弄清楚为什么、并在经历体验后感悟内化。从上面三个步骤的教学中，学生对长、正方形周长的计算公式是不难理解的，但是隐藏在其背后的内涵：“其周长与什么有关？”学生能否都能明白。教师一开始就要让学生带着问题思考，直至最后自己感悟并表达出来。比如，在尝试计算前先问：“我们要计算长方形的周长，你觉得它的大小会与什么有关？”等学生猜测到与长、宽的长度有关时再给出它们的长度，这样要求长方形的周长需要知道长、宽的长度，就不是教师直接给予而是学生根据猜测证实得到的，那么学生解决问题的主动性就更强了，思维自然更加活跃了。同时，在说理环节后加上“类推”一步：出示两个图形（一个长方形，一个正方形，分别给出长、宽的长度），分别求出这两个图形的周长。不仅积累更多的长方形计算方法的经验，而且由此迁移内化对正方形周长计算方法的理解，更重要的是为后面回顾、抽象、提炼、表达自己所理解的数学模型提供体验和感悟的丰富材料以及经验。这样学生不仅理解掌握长正方形周长的计算公式，更能内化周长概念的内涵，即长方形四条边长度的累加，而累加过程的优化就得到了长方形周长的计算公式。学生明白了线段长度属于一维空间，为后面学习面积与体积这样二维与三维空间知识奠定了坚实的基础。

3.运用模型拓展延伸激活。模型要在运用于实际问题的解决中得到巩固深化，但是仅仅是简单的套用公式，可能导致学生思维的定势与思维的惰性，也会使模型之间的关系被割裂开，无法建构模型之间的联系，使得不能灵活运用模型解决实际问题。因此，运用模型解决实际问题中，除了基本运用建构不同情境但同一本质的数学问题解决外，还要拓展延伸，将所学模型与不同模型间或同一模型但形式不同的实际问题对比，促使学生进一步思考，以考察学生灵活运用模型解决问题的能力。

如长方形周长计算一课，最后可设计的两个问题：1.制作学校这个足球门的铁条需要多长？2.把一个长5分米、宽3分米的长方形架子拆掉并围成一个正方形，这个正方形架子的边长是多少分米？最后在学生解答完后引导思考：回顾解决这些问题的过程，有什么想法、经验和大家分享下？这样学生在自己独立思维的基础上因有碰撞、接纳，思维始终处于活跃状态并得到有效提升。

二、让尝试成为习惯是目标

建立模型是解决问题和数学应用的核心。数学应用或解决现实中的实际问题很多时候不是也不可能生搬硬套模型就能解决的。而是需要对实际问题进行分析、提炼、检索，建构和模型之间的联系和区别，从而进行筛选重组，加工处理，甚至要多次变换不同角度思考问题直至最终解决问题。从这个角度上看，学生对模型的建立过程中经历多少，投入怎样，对模型的理解掌握程度等等，将直接影响其运用和问题的解决。因为，学生基本上是将新模型建立过程中所学到的知识、方法作为自己的思维习惯，并运用到问题解决中。习惯一旦养成，很难改变，因此，良好习惯的养成很重要。

接受式的思维方式可能导致学生生搬硬套，即使短期有效益，但绝对无法培养良好的学习力。要让学生主动思考，勤于思考，大胆思考，碰到困难不退缩，有办法，并使之成为习惯，自主尝试是一个不错的途径。尝试的开始就是学生启动独立思考，进行分析、比较、抽象、推理等思维之旅的过程，是建构与已有经验间联系并进行分析取舍的过程，也是学生对模型能够真正内化为自己的理解并表达的前提，更是教师根据学情及时调整教学进程、提供良好学习方式的有效载体。自主尝试成为一种习惯后，学生的思维方式就转变为：凡事自己先想，敢于挑战，寻找解答过程不容易受刚学过的数学技巧的限定，能够调整思维的角度，想尽各种方法，最终使问题得以解决。有利于培养学生运用的意识，以及创新意识的形成，更有助于学生积累建模的经验，形成建模的思想。

如教学鸡兔同笼一课时，许多教师在出示例题后就引导学生找出显现的和隐藏的信息，课堂就成了教师的一言堂了，学生没有思维参与的空间，教师也无视学生的想法，导致模型建立后教师还得不停引导，这样的教学无法培养学生从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的能力，更谈不上培养数学的思想了。教学其实是可以这样进行的：让学生理解信息后，直接问：你想怎么解决这个问题？学生思考后直接动手尝试解决，学生各自运用的方法是不同的，有的尝试。列举法（就算是列举法的也还有所区别），有的用假设法，有的则尝试用方程，还有的尝试画图。当然，也会有一部分学生想不出思路。只有充分地放手，才能真正地发现和调整，发现学生已有知识基础或经验被激活的情况如何，学生自己独立解答问题的能力如何，学生思维活跃或层次反映情况如何，这时教师才能真正把时间放在重点处、难点处，关注学生对各种解法的理解，因此，教师对展示各种解法的过程中，可以在学生易错易混淆的地方放慢脚步，多一些“这一步什么意思？你看得懂吗？还有什么疑问没？”等问题引领，然后适时地运用直观手段帮助理解，使学生能够感受到对算理理解的必要性。同时，通过对多种方法的比较，使学生领悟并选择适合自己思维层次的算法解决问题。此时，学生的参与就不仅是听，更多的是思和悟了：“呵呵，我做对了”“哦，我刚才怎么没有想到这种方法？”“嗯，这个方法好像更好”。做足体验和感悟是升华思想的必要途径。

问题解决不是一成不变，而是灵活多变的，需要学生具备独立解决问题的能力和善于思考的习惯。碰到一个新的问题，不是期待得到帮助，而是先主动尝试解题，分析问题与信息之间的关系，与原有的认知基础或经验进行关联，寻找解决问题的突破口。只有在学生真正经历思考后还无法解决时伸出援手的帮助，才能使学生真正从情感上接受，并付出精力去获取，这样，获得的知识才会牢固，体验才会深刻，能力才能得到培养，思想才能升华。

三、把反思当作方法是策略

从元认知角度来考虑，学习并不仅仅是对所学材料的识别、加工和理解的认知过程，它同时也是对认知过程进行积极的监控和调节的元认知过程。元认知过程实际上就是指导、调节认知过程，选择有效认知策略的控制执行过程。其实质是人对认知活动的自我意识和自我控制。元认知的过程恰恰是学生将模型内化并积累经验的一个不可缺少的环节。及时反思可以指导学生有效监控学习过程，借助反思促进思考，让反思成为进一步学习的有效策略。反思不仅应该从知识的获得入手，更重要的是在方法策略、意识和观念层面上的自我监控。通常，在每一环节结束进入下一环节时，要引导反思，达到承上启下的作用。在建模过程中，更需要对方法、策略运用及失败和喜好原因等进行反思，勾连新旧知识间的联系，及时调整、修正策略，使模型认识更深刻，使学习方法更有效，从中感受数学思想方法的魅力和作用，并能在潜移默化中灵活运用解决问题。

以三角形的面积计算为例，本课教学一开始通过创设情境抽象“这个直角三角形的面积如何计算？”这一数学问题后，学生尝试解决，并解释算理：将直角三角形转化为长方形，发现他们面积之间存在2倍的关系，经过推导得到了直角三角形面积等于底乘高除以2这一结论后。许多教师直接提问：那么锐角三角形、钝角三角形的面积又该如何计算呢？能不能也运用转化的方法试试看？就引入了下一环节的探索。其实，建模过程所运用的策略为接下来的继续探究以及今后碰到的实际问题的解决将起至关重要的作用，应该让每个学生都清楚和明白，而自我反思恰恰是必不可少的环节。可通过问题激发学生思考：你们想过为什么要把直角三角形转化为长方形？转化为其他图形可以吗？你们又是怎么转化的？通过反思，能够明白未知转化为已知是问题得以解决的常用的、有效的策略；通过反思，真正寻找到“两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形”是新知识与旧知识之间的联结点。通过反思，明白直角三角形不但可以拼成长方形，还可以拼成平行四边形，转化为长方形时不仅可以用拼的方法，还可以直接把这个直角三角形进行剪拼（如上图所示）。更重要的是为后面的锐角三角形和钝角三角形转化成平行四边形的探索扫清障碍，为顺利达成教学目标打下坚实的基础。

尽管教学不一定要把所有的方法都让学生掌握，但是，通过反思还能够想到教学以外的更多的方法，恰恰说明学生思维的广度和深度被充分挖掘。如果，长期坚持养成自我反思的习惯，让学生自主把未知问题归结为一类已经解决或较易解决的问题中去时，将不会受到所学知识和方法的限制，能够更加灵活地选择有效的方法，使问题最终得以解决。

四、将质疑进行到底是精神

学习的过程是自主建构对新知识的理解和体验、感悟的过程。学生带着自己的认知基础或生活经验的主动参与，但是基础不同，经验不同，每个人的理解和能力也各不相同，因此，大班教学要确保学生对所学知识达到知其然而知其所以然的目标，就要在课堂学习中形成一种人人敢于问“为什么”的质疑精神，敢于说出“我认为这样的方法更好”的自信。

暑假听了刘松教学的《倍的认识》，他在借助三朵黄花和三朵红花比较，通过引导学生说出黄花和红花同样多的基础上，直接告知在数学上除了可以说成同样多外，还可以有另一种关系。这样引导出红花是黄花的一倍，进而一倍多1个，多2个，一倍多3个也是2倍，再到3倍之后，就话锋一转：“刚才要你们说的，都说得真好。现在你们自己还有什么想说的吗？”此时很多学生不知如何表达。最后还是刘松老师引导，“你们说是1倍，说是2倍，可为什么是1倍、2倍呢？也就是说你们知道这个结果，可为什么是这样的？你们明白吗？有这样问过自己吗？”这是非常重要的问题，学习不但要知道是什么，更要知道是为什么。

整堂课下来，印象最深的就是教师一直在鼓励学生要敢于问为什么，凡事要弄清楚为什么，教师说这就是他的教学理念。教师直接问为什么？学生只是在回答一个问题而已。但是如果问学生有什么问题要问吗，或者有什么想法要表达吗，这就要求学生自己思考要提什么问题，提什么才是有价值的问题，每每作出这样的思考时，学生质疑习惯才能养成，独立思考的能力才会增强。这就是我们所需要培养的发现问题并提出问题的能力。而营造这样有着“质疑习惯”的肥沃土壤，需要靠教师持之以恒，坚持不懈的培育和浇灌。

教师力求培养学生在解决实际问题时，能够用数学的眼光发现问题，运用数学模型灵活解决问题，碰到困难不退缩，不放弃。但在平常的教学中，学生没有获得足够的信心、养成良好的习惯、掌握必要的技能，以及缺乏应变的思维能力的支撑，是难以达成这一目标的。因此，持之以恒、坚持不懈地把建模思想所必备的核心要素贯穿于每一堂课始终，就成了教师必须共同努力的方向。

［1］张海燕.数学建模思想在小学数学教学中的应用[J].现代教育,2015(10).

［2］郑毓信.数学教师基本功之二［J］.人民教育，2008（9）.

（责任编辑：陈志华）