2017年高考课标卷数学选做题答题情况分析及备考建议*

2017-10-13广州市铁一中学番禺校区511447钟进均

中学数学研究(广东) 2017年17期

关键词：做题坐标系试题

广州市铁一中学番禺校区(511447) 钟进均

广州市铁一中学番禺校区(511447) 钟进均

论文针对2017年高考数学课标卷选做题的答题情况,结合考试大纲要求,在梳理近三年高考全国卷的选做题命题情况的基础上对试题进行了简要评价,提出了备考建议.

高考选做题分析建议

高考是测量高中数学教学质量的重要方式之一.深入研究高考试题及其答题情况,对提高高中数学教学质量十分必要.笔者有幸参加了广东省2017年的高考评卷工作,对全国课标卷(简称“课标卷”)的选做题情况有一定了解.本文拟对2017年课标卷选做题答题情况进行分析,立足考试大纲要求对试题进行评价,并给出了选做题的备考建议.

一、试题呈现

22.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为

直线l的参数方程为

(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;

23. (选修 4-5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=−x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x−1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1,1],求a的取值范围.

二、答题情况分析

在评卷过程中,我们看到了多种不同解法,收集了一些典型错误.下面介绍出现频次较多的解法,列举一些典型错误并对其进行分析.

(一)主要解法汇总

1.第22题的解法

(1)第(1)小题的主要解法

解法A2 当a=−1时,由曲线C与直线l的参数方程,得方程组

解法A3 当a=−1时,由曲线C与直线l的参数方程,得方程组

(2)第(2)小题的主要解法

解法B1 直线l的普通方程为x+4y−a−4=0,点(x0,y0)到直线l的距离公式

解得a=18(舍去)或a= −16.当−a−4≤0,即a≥ −4时,d的最大值为

解得a=−26(舍去)或a=8.综上得a=8或a=−16.

解法B2直线l的普通方程为x+4y−a−4=0,设直线m//l且m与曲线C相切,则直线的方程可设为x+4y+b=0,联立方程组

图1

得一元二次方程25y2+8by+b2−9=0.

由Δ=64b2−100(b2−9)=0,解得b1=−5,b2=5.

则切线为

如图1所示,由于直线m1与直线m2距离为

解法B3 直线l的普通方程为x+4y−a−4=0,点(x0,y0)到直线l的距离公式

解得a=18(舍去)或a=−16.

解得a=−26(舍去)或a=8.综上得a=8或a=−16.

2.第23题的解法

(1)第(1)小题的主要解法

解法C1当a=1时,

解法C2当a=1时,f(x)=−x2+x+4,

如图2所示,f(x)与g(x)的图像交与两点,由f(x)=g(x),

解得x1=−1,所以f(x)≤ g(x)的解集

图2

(2)第(2)小题的主要解法

解法D1 当x∈[−1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[−1,1],等价于当x∈[−1,1]时,f(x)≥2.所以由f(−1)≥ 2,得a≤ 1.由f(1)≥ 2,得a≥ −1.所以a的取值范围是[−1,1].

解法 D2 当 x∈ [−1,1]时,g(x)=2,由题意得:x2−ax−2≤0,由左端定义的抛物线与x轴有两个交点,

解法 D3 当 x∈ [−1,1]时,g(x)=2,依题意得,x2−ax−2≤ 0,即ax≥ x2−2,当x=0时,不等式成立;当x∈(0,1]时,由a≥得 a≥ −1.当x∈[−1,0)时,由a≤得a≤1.所以a的取值范围是[−1,1].

(二)典型错误分析

详情参见参考文献[4].

三、试题评价与备考建议

对考生的答题情况的分析、对试题的评价和提出有关备考建议等都离不开考试大纲的要求.

(一)考试大纲要求

1.选修4-4:坐标系与参数方程[2]

(1)坐标系①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.

(2)参数方程①了解参数方程,了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.③了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.④了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.

2.选修4-5:不等式选讲[2]

理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:①|a+b|≤|a|+|b|.②|a−b|≤|a−c|+|c−b|.③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x−a|+|x−b|≥c.

需说明的是,《2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科)》(教育部考试中心编写,高等教育出版社出版,以下简称《考试大纲》)对“不等式选讲”的其它内容还有具体要求,此仅呈现与上述试题相关的部分.

(二)试题评价

为了科学分析、评价2017年课标卷的选做题,我们很有必要了解近三年全国高考卷的选做题命题情况.

1.近3年全国卷选做题命题情况分析

研究发现,2010年-2016年高考数学全国卷的选做题均为“三选一”;2017年全国卷的选做题全部变为了“二选一”,不再考查“几何证明选讲”专题;自2010年以来文理科高考试卷的选做题完全相同.

表3近3年全国卷“坐标系与参数方程”选做题命题情况分析

容易看出:高考全国卷对极坐标系的相关问题的考查主要体现在极坐标方程与直角坐标方程之间的互化;参数方程的考查主要体现在:①将参数方程化为普通方程;②参数方程的应用.

表4近3年全国卷“不等式选讲”选做题命题情况分析

容易看出:高考全国卷对“不等式选讲”的考查中,含绝对值的不等式的解法考查频率最高,基本上每年都有所考查;从最开始由简单的解不含参的绝对值不等式,到已知含绝对值不等式的解集或解集的一部分,求参数的范围,再到与基本不等式结合起来综合考查,难度逐步增大.

2.对2017年课标卷“坐标系与参数方程”选做题的评价

“极坐标与参数方程”不仅给描述现实世界与数学对象提供了除直角坐标之外的手段,更重要的是,直角坐标描述几何对象或其他数学对象并不总是简单而有效的,在直角坐标、极坐标与参数方程之间,需根据具体的数学问题作出适当选择.“坐标系与参数方程”要求考生理解同一个坐标系中,一条曲线可有不同的表示方法,即普通方程与参数方程,要求考生掌握简单曲线的极坐标方程,以及直角坐标与极坐标之间的转换公式.曲线的普通方程是刻画曲线上的点与两条垂直坐标轴之间的度量关系.曲线的参数方程是刻画曲线上的点的横、纵坐标与引入的参数之间的函数关系,表达方式是参数(函数)方程组.在引入中间参数时,有些参数有确定的几何意义,有些只是一个参变量.[1]

本试题考查的是考生熟悉的椭圆与直线的位置关系.试题给出的曲线和曲线均为参数方程,第(1)小题考查参数方程确定的前提下,求两曲线的交点坐标.这问题解决涉及到的知识与技能要求很常见且考生熟悉,切入方向较明显:既可以像上述介绍的解法A1那样(这也是最多考生采用的解法),分别将曲线和曲线的参数方程转化为普通方程,然后建立方程组来求解,也可像解法A2那样,直接将两个参数方程联立,之后求出参数的值,然后将的值代入曲线的参数方程,得出交点坐标.第(2)小题考查椭圆的点到直线的距离问题.这要求考生能将曲线的参数方程转化为普通方程,然后运用点到直线的距离计算公式将“距离”表示出来,接着运用分类讨论思想求出“距离”最大时参数的取值.绝大多数考生容易找到解题思路,但在“分类讨论”上难以做到“完整”.

显然,本试题没涉及到考查极坐标知识,仅考查参数方程知识,重视与必修模块的平面解析几何知识相结合,突出基础知识、基本技能和基本思想的考查,难度适中,符合考试大纲的要求,有利于考生的正常发挥.

3.对2017年课标卷“不等式选讲”选做题的评价

“不等式选讲”要求考生掌握简单的绝对值不等式的求解,同时要求考生掌握简单不等式的证明方法,包括综合法与分析法.对于绝对值不等式的求解,要求考生掌握三种“基本方法”:一是写出绝对值函数的分段函数表达式;二是画出绝对值函数的函数图像;三是根据数轴中绝对值的几何意义求解不等式.[1]

本试题的第(1)小题考查在已知参数的值的前提下解一个确定的绝对值不等式,可用到“基本方法”的前两种方法,如上述解法B1和解法B2;其问题背景常见,解题思路较常规.第(2)小题考查已知含参数的绝对值不等式的解集情况,求参数的取值范围.两个小题的问题背景联系十分紧密,都需在“去绝对值符号”的基础上进行等价转换,构造关于参数a的不等式.从评卷情况看,解法D1出现最多,其次是解法D2,仅极个别考生运用解法D3.该试题考查了基础知识:解绝对值不等式的常规解法(“基本方法”),重视考查基本思想:数形结合和分类讨论的数学思想,突出了基本技能:转化,符合考试大纲的要求,难度适中.

两道选考题都将难度控制在中等程度,并保持难度平衡,不但有利于考生水平的发挥,同时为考生创设公平竞争的机会,保持了考试客观、公正、公平.

(三)备考建议

1.认真研读《考试大纲》,用好高考真题

《考试大纲》是高考命题的规范性文件和标准,是考试评价、复习备考的依据[2],规定高考要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度,对数学思想方法和数学本质的理解水平,进入高等学校继续学习的潜能,着重考查考生的能力.[2]“在中学数学教学中,极坐标与参数方程的教学内容和必修课中的解析几何内容有着更紧密的联系.考生不仅应掌握曲线的三种不同表现形式间相互转化的方法,而且要能够了解不同表现形式在解决问题时的优势和局限性”.[2]上述《考试大纲》对“坐标系与参数方程”和“不等式选讲”的知识、能力、思想方法等提出了明确要求,用“会”、“了解”、“理解”等行为动词指出了它们的地位和层次要求.

科学选用备考训练素材,是高考备考的重要环节之一.为了较好把握训练素材的考点、难度,提高备考的针对性和有效性,笔者以为,教师最好能整理近五年的全国高考I、II、III卷的选做题供学生训练.

总之,教师在平时教学中要重视研读考纲,根据考纲要求设计教学目标,把握准确教学重点、难点,选取合适的教学方法和训练素材来达成备考目标,最终提高备考质量.

2.高度重视数学思想方法的教学

数学思想方法是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识,它蕴涵于具体的内容与方法之中,又经过了提炼与概括,成为理性认识[3].在“坐标系与参数方程”和“不等式选讲”的教学中,需特别重视以下几种数学思想方法的教学:

(1)分类与整合的思想

分类与整合(也叫分类讨论)就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类问题的结论得到整个问题的解答的数学思想.分类应从所研究的具体问题出发,选取恰当的分类标准,然后根据对象的属性和特点,把它们不重不漏划分为若干个类别.划分只是手段,分类研究才是目的.数学高考对分类与整合思想的考查放在了重要位置,突出考查考生思维的严谨性与周密性.[2]“不等式选讲”选做题中的解绝对值不等式就是对分类与整合思想的重点考查.

(2)化归与转化的思想

化归与转化的思想是在研究和解决数学问题时借助数学知识和数学方法,将问题进行转化,使抽象问题具体化,复杂问题简单化,未知问题已知化,进而达到解决问题的数学思想.[2]考试大纲明确要求考生“能”进行曲线的“三种表现形式”之间的互化,并且每年高考都考查这一点.这就要考生熟练掌握运用“化归与转化”思想于问题解决之中.毕竟这一思想在数学问题解决中应用十分广泛.

(3)数形结合的思想

数形结合的思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.数形结合的思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,有助于把握数学问题的本质,有利于达到优化解题的目的.高考突出考查数形结合的思想,考查考生将数量关系与几何直观相互转化的能力.在上述“不等式选讲”选做题的解法C2中,图2对于顺利解答第(2)小题起着十分关键的作用.要求考生在平时要重视运用数形结合思想,会通过作图来辅助解题.

所以教师要培养学生的作图意识,懂得从图形寻找解题的突破点.

3.重视数学学习过程,创设机会暴露学生的数学思维

尽管对多数学生而言,高考课标卷的选做题不算很难,考查的知识点的覆盖范围不算太大以及综合性不强,但数学学科的一些基础知识、基本思想、基本技能仍得到较好考查.譬如直线与圆的方程、椭圆(抛物线)的标准方程、点到直线的距离计算公式、两点间的距离计算公式等就属于基础知识,在极坐标与直角坐标互化、曲线的极坐标方程与普通方程互化、曲线的参数方程与普通方程的互化等会用到化归与转化、数形结合等基本思想,在解绝对值不等式,含参问题的讨论等需用到分类与整合思想;所有数学问题解决都离不开转化思想.为了让学生能熟练掌握基础知识、基本思想、基本技能,就很有必要特别关注学生的学习过程,想尽办法暴露学生的数学思维,让学生在课堂上多表达(含口头表达和书面表达)自己对“坐标系与参数方程”和“不等式选讲”的内容(定义、定理、公式、原理等)的理解,对选做题的解答步骤的概括认识,对问题转化策略的总结与提炼,避免教师对学生数学思维过程的包办代替.

4.重视对学生的考试策略指导

相对其它解答题而言,选做题的难度适中,满分10分,占分多.考生要在高考考场上很好地完成选做题的解答,则需掌握科学的考试策略.而这些策略需老师在平时备考中对学生进行科学指导.要拿好这选做题的10分,就要选择合适的答题时机,并且要先“选好”,才能“做好”.鉴于选做题的难度及其处于试卷的最后位置,那解答选做题的时机对于考生较好完成整份试卷至关重要.“到底何时作答,应选择哪一题来作答”,这颇为关键.以笔者的实践经验看,在完成选择题和填空题的解答之后,就作答“选做题”较合适.在“选题”上要求学生先对第22题(坐标系与参数方程)进行审题5分钟,若学生对该题的解题思路比较清晰,容易找到解题切入点,那就确定做该题.否则,须转向解答第23题(不等式选讲).即优先考虑解答第22题.

《考试大纲》要求:考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心.所以,在平时备考训练中,老师要注意引导学生调节好答题心态,要在平时套卷测试中不断强调答题策略,强化学生在套卷训练中形成科学的答卷习惯:若遇到第22题难度较大,则要保持冷静,从容面对第23题,淡定审题、答题,规范书写解答过程,确保计算准确.考生只有保持冷静心态,才不会忘记填涂信息点,才不会运算出错.一旦在“选做题”解答上“不顺利”,则对完成其它解答题造成巨大阻碍,影响整场考试.笔者建议:学生在平时套题测试中做了其中一道选做题,在测试后必须完成另一题的解答;老师在讲评试卷时需详细讲评这两道题.如此坚持下来,学生对两类选做题的内容都熟悉,能增强应试自信心.尽管从评卷实际情况看,95%以上的考生选做了第22题,但我们反对教师过于强调选做第22题,而淡化甚至完全忽略第23题的做法.