2017高考三角试题分析暨2018复习备考建议

广州市执信中学(510080)朱清波

2017高考三角试题分析暨2018复习备考建议

广州市执信中学(510080)朱清波

三角是全国卷高考考查的重点和热点内容,重点考查学生对公式的合理运用和化繁为简的运算能力,同时这一部分知识点也是学习向量甚至立体几何相关内容的一个重要工具,在高考命题中的重要性不言而喻.2017年全国高考数学乙卷三角部分的命题有以下三个特点:

一、命题题型稳定

体现在题量、分值还有考点与往年基本一致,理科延续了每隔两年一大一小的基本规律(考查数列年份则会以三个三角小题形式呈现),而文科今年只命了两道小题,历年均考查三角函数的图像和性质、三角恒等变换以及解三角形等知识点,题型结构灵活、难度适中.

(1)文理科考查三角函数的性质和三角恒等变换,试题结构比较

题目2(2017年理科第9题)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=,则下面结论正确的是()

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位,得到曲线C2.

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线C2.

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位,得到曲线C2.

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线C2.

说明 文科试题14主要考查同角三角关系和两角和与差的余弦公式,涉及两个知识点,相比2016年几乎一样位置的高考题难度明显降低;题量也从去年的三个小题变成了两个(2017文8虽然有三角结构但是主要考查函数的图像和性质),理科第9题考查图像变换,但需要先将两个结构统一成同名函数,因此也是涉及两个知识点,考查难度相对稳定.

(2)文理科都考查解三角型,不但要求对正弦定理和余弦定理灵活运用,在处理过程中还涉及到了边角互化,代换消元等转化思想,题目“似曾相识”且综合性强.

题目3(2017年文科第11题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0,

题目4(2017年理科第17题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为

(1)求sinB sinC;

(2)若6cosB cosC=1,a=3,求△ABC的周长.

说明 文科第11题需要用到这个三角形中的隐性条件,然后化简计算出,最后用正弦定理处理,凸显解决问题的综合性,难度中等.

理科第17题作为综合题的第一题,承担了学生是否有时间和稳定的心态迎接后面其它综合题的功能,位置极为重要,本题考查了如下几个点:

• 三角形面积公式的灵活转化

• 正弦定理的工具作用

•三角形中隐性条件cosA=−cos(B+C)

• 余弦定理的灵活应用

相比往年试题而言,本题两小问之间的内在联系呈现度较弱,这也是第二问考生普遍感觉不好入手得分率比预期偏低的最大原因,总的来说本题综合性很强,几乎涵盖了解三角形所有的知识点,较之前全国卷高考相关三角问题难度有所上升.

二、考题源于课本,设计灵活,强调教与学要回归教材,打好基础,以能力立意,将知识、能力和素养融为一体,逐步培养解决数学问题的能力

我们来对比一下课本教材上的习题和高考真题:

题目5(普通高中课程标准实验教科书数学必修5第20页B组第1题)证明三角形的面积公式

题目4:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为

(1)求sinB sinC;(余下从略.)

题目6(普通高中课程标准实验教科书数学必修5第18页练习3)三角形ABC中,求证:c=acosB+bcosA.

题目7(2016年理科第17题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(I)求C;(余下从略.)

通过对比我们不难发现,近年高考中的三角命题多是通过课本习题的一个小结论发展演变而来,通过几个公式环环相扣来提高问题的综合性,这样的命题方式让学生入手容易,但完整解决整道题需要较高的数学素养

三 选题注重通性同法,不偏不怪,解法路径灵活难度一致,殊途同归,强化一题多解的能力要求,提升学生的归纳和综合应用能力

题目4主要考查三角形面积公式、三角形的内角和定理,两角和与差的余弦公式、正、余弦定理等基础知识,同时也查考学生的运算能力.

题目4的解答:

今年考生三角解答题的典型错误抽样统计如下:

考生的典型错误原因分析错误频次(1) a23sinA=sinAsinA 3sinA ;(2)bc=2 3⇒sinB sinC=2 3错用正弦定理:a=sinA,b=sinB,c=sinC 14.8%(1)cosB cosC+sinB sinC =cos(B+C);(2)cosB sinC+sinB cosC=cos(B+C)和差角的余弦公式记忆错误9.8%cos(B+C)=cosA 诱导公式记忆错误8.8%由题意得:1 2acsinB= a23sinA,由正弦定理得:1 2sinC sinB=sinA sinA,所以,sinC sinB=2.跳 步、“丢 三 落四”导致错误3.6%

从实际改卷中的抽样统计来看,学生错误方向有以下三种:首先是公式识记类出错,既有三角展开公式中的加减符号出错,也有特殊角的三角函数值记混淆;其次是对公式理解出错,如正弦定理中边与角的关系;最后是计算出错,这个问题导致学生起步运算错误以致无法继续算下去或者思考方向虽正确但运算能力跟不上等,当然还有相当一部分学生的第二小问没有有效得分或者空白,这表明学生在备考过程中并没有完全掌握三角相关知识点,无法对各种公式有效串联应用,据此我们提出2018年复习备考建议:

1.熟记与三角相关的所有公式.如特殊角的三角函数值、诱导公式、恒等变形公式还有正余弦定理、三角形面积公式,同时还应包括三角函数图像平移规律,特殊三角形的边角关系等,只有记得准和反应迅速,才能在考试中快速及时的运用相关已知条件.

2正确理解公式或结论背后的本质,不放过知识点盲点,如三角函数线的生成过程、五点作图法步骤的合理性、初高中三角函数的差异性认知还有在三角形中三角性质的隐性约束等,让学生清晰的认识到自身的理解是否有偏差从而有意识的去纠正.

3.对于三角函数中的图像变换问题,首先要处理的是利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数,转换的公式为:另外,在进行图像变换时,注意有先平移后伸缩和先伸缩后平移两种,后者在考试中经常出现,但无论哪种变换,要让学生明确每一个变换总是对变量而言.与其他量无关

4．处理三角函数性质(单调性、周期性、最值等)相关问题时,通常是利用三角函数的有关公式,将考查的类三角函数表达式化简为“只含”一个函数名、最高次数为一次的形式,再根据正(余)弦型函数的基本性质依次对所求问题作出解答．

5.在三角函数求值问题中,一般运用恒等变换,将未知角转换为已知角求解,注意整体代换的数学技巧,在备考中要及时引导学生如何通过题设条件朝所需条件来转化,教会学生反向逆推所需,待思路清晰后再动笔解决.

6.处理解三角形问题,其本质就是处理三角形自带的几个内蕴方程,题设所给的条件一般是该方程中的部分量,用其解决其它未知量的一个过程.而正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如周长、面积、外接圆半径和面积等)提供了理论依据,同时两个定理也是判断三角形形状、证明三角形中有关恒等式的重要依据.具体到解题层面时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够题干中利用某个定理的信息:一般来说若式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;若式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．另外面积公式B经常会作为条件出现,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.相比以前的广东卷命题,全国卷明显增强了解三解问题的综合性,这一部分考点已经不再是易得分点,如果要让学生在考场上能做到冷静的思考和高效得分,教师在平时课堂的选题就要注重综合性和灵活性甚至创新性,分解难点,逐个突破,层层递进,另外还要注重限时训练,让学生有意识的归纳这类问题的解法共性和结论,最后才能达到熟练进行三角变换和运用正余弦定理来解题.