浅议圆锥曲线解题策略与技巧

2017-09-29王江闽

读与写·上旬刊 2017年8期

王江闽

摘要：高中生学好圆锥曲线，能够提升良好的创新、开拓方面的思维能力，因此对学生的思维能力也提出了更高的要求。本文通过归纳介绍定义法、数形结合法等多种方法，目的使学生掌握解题策略以及技巧。

关键词：圆锥曲线；高中数学；解题技巧

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2017）08-0126-01

圆锥曲线是高中阶段平面解析几何的核心内容，是高考的必考内容之一，它主要考查圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、参数取值范围、最值、轨迹方程以及圆锥曲线有关证明问题。它的曲线类型多，涉及公式多，运算量大，对考生的分析能力、综合运用各种数学知识与思想方法解题的能力以及计算能力要求较高。在解题过程中，利用解析几何的思想方法解决圆锥曲线的问题，思路比较简单.且有较强的规律可循，归纳起来主要有以下四个方面。

1.用定义法求解

圆锥曲线的第二定义体现了"形"的统一，第一定义则体现了"质"的区别。两种定義不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性。第一种定义和第二种定义的灵活转换常常是打开解析几何思路的钥匙，在题目中挖掘这隐含信息有助于解题。

例1：椭圆x2a2+y2b2（a>b>0）和双曲线x2m2-y2n2（m，n>0）有公共的焦点F1（-c，0）、F2（c，0），P为这两曲线的交点，求|PF1|·|PF2|的值。

分析：做这道题时，如果我们从P为这两曲线的交点出发，想通过联立方程组解点P的坐标，再利用两点间距离公式去求|PF1|，|PF2|，其过程十分繁琐，但如果从椭圆与双曲线的定义出发，就比较容易解决问题。

解：设|PF1|=u，|PF2|=v，则u+v=2a ①u-v=±2m ②a2-b2=m2+n2 ③，由①②得u=a-mv=a+m，结合③得|PF1|·|PF2|=v·n=a2-m2或b2+n2。

2.用韦达定理法求解

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决。

例2：已知椭圆x2m+y2m-1=1（2≤m≤5）过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A、B、C、D、设f（m）=||AB|-|CD||，：求f（m）。

分析：此题初看很复杂，对f（m）的结构不知如何运算，因A、B来源于"不同系统"，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，但若这些线段"投影"到x轴上，立即可将问题明朗化，只需用韦达定理即可。

解：（1）椭圆x2m+y2m-1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1（-1，0）则BC：y=x+1，代入椭圆方程即（m-1）x2+my2-m（m-1）=0，得（m-1）x2+m（x+1）2-m2+m=0；∴（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0；设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=-2m2m-1（2≤m≤5）

f（m）=||AB|-|CD||=2|（xB-xA）-（xD-xC）|=2|（x1+x2）-（xA+xC）|=2|（x1+x2|=2·2m2m-1

3.用引入参变量，设而不求法求解

在解答圆锥曲线的存在性问题、定值问题时，常常需要设出相关的点的坐标或是直线的斜率、截距等变量，以便相关计算得以进行。而在计算过程中.并不需要求出所设变量的值，而是通过整体代换、化简等手段消去变量，达到解题目的。

例3、已知双曲线x2-y22=1，经过点M（1，1）能否作一条直线L，使L与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线L，求出它的方程，不存在，说明理由。

分析：这是一道探索性题目，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证是否满足题设的条件。

解：设存在被点M平分的弦AB，且A（x1，y1）、B（x2，y2）

则x1+x2=2，y1+y2=2；x12-y122=1，x22-y222=1

两式相减，得（x1+x2）（x1-x2）-12（y1+y2）（y1-y2）=0，∴KAB=y1-y2x1-x2=2

故直线AB：y-1=2（x-1）；由y-1=2（x-1）x2-y22=1消去y，得2x2-4x+3=0

∴Δ=（-4）2-4×2×3=-8<0

这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。

4.用数形结合法的求解