浅谈类比教学在初中数学教学中的重要性与可行性

左晓虹

摘要： 初中阶段的数学教学方法极其重要，不仅关系到学生未来学习和研究数学的能力，也直接影响到后期各阶段的学习效率，作为初中数学教师要不断改进教学方法及技巧，积极引导培养学生自主学习能力和独立思考能力，本文就类比教学在初中数学中的重要性及可行性进行探讨。

关键词：初中数学；类比教学；教学方法

中图分类号：○174.1 文献标识码：A

1 类比教学应用于中学数学教学的理论依据及重要意数义

一位好的数学老师不在于培养多少个高分学生，而在于发现一个数学天才。“类比是一个伟大的引路人”（波利亚）。“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”（康德）。中国古代墨子提出“以故生，以理长，以类行”的推理原则。北宋哲学家程颐、程颢兄弟更明确的把例比作为一种重要的推理方法，他们认为“格物穷理，非是要穷尽天下之物，但于一事上穷尽，其他可以类推”。牛顿把苹果和行星进行类比，发现了万有引力；鲁班把树叶与木工的工具相类比，发明了锯子。类比得到的结论也具有或然性，但是类比还是被称为“理智的桥梁”。

所谓类比（即类比推理）就是依据两个对象的已知相似性，有可能把一个（数学）对象的特殊知识转移到另一个数学对象上去，从而获得对后一个对象的新知识。[1]类比教学法是初中数学课堂教学中常用的一种教学方法，在教学中通过新旧知识的类比，利用已有的旧知识，揭示新知识的本质所在，帮助学生找出新旧知识之间的相同点和不同点，从而达到掌握知识的目的。[2]数学中应用类比的教学案例很多，也都是多数教师常用的教学手法。这一方法之所以被广泛接受和应用，必然有其独特的一面，这甚至是无可替代的。针对初级中学的学生，在熟知其认知能力的基础上，这一惯用方法毫无疑问的起到了事半功倍的良好效果。初中生习惯于记忆，并擅长记忆，但是这也会影响着后期的学习能力。作为教师，一旦急于求成或者片面追求学生成绩，就可能会导致教学成为单纯的讲述，这和背诵古诗词是没有区别的，是数学教学中的大忌。类比教学的意义就在于打破常规的“死教死学”模式，从而得到启发学生的目的。纵观古今中外，我们人类的进步似乎与类比有着密切练习，而事实是我们作为教师经常会因为种种因素忽略了此方法。

2 类比教学应用于中学数学教学的可行性

2.1平面与空间的类比教学

平面与空间的类比对于研究初等几何图形有着极其重要的意义。初等几何含盖了四个方面，即点、线、面、体。每一个层面的学习都关系并影响着其他层面。而类比的方法可以将这几个层面有机地结合起来，从而形成蜘蛛网式的知识体系。学生可以随意的在网中寻找自己理想线路和猎物。这对于大多数极其依赖教师的学生而言有着不可或缺的作用。层层递进的知识体系也可以形成严密的几何思维，对于诊断知识漏洞也很有帮助。平面中的相关推理适用于发展立体几何的研究，而立体几何的理论知识也可以准确检验平面几何，这又相辅相成的促进了平面与空间之间的统一，相得益彰。在矩形中，平面图形里的每一个内角都是直角，而长方体是由六个矩形构成，从而在长方体中每一个面内的角也都是直角。同样可以推理得到每相邻的三条棱互相垂直，每相邻的两个平面互相垂直。这就是平面与空间类比的实际案例。在日常教学过程中，我们不难发现几乎所有的平面都可以作为推理论证立体几何的基础和工具，反之亦然。在对容器容积和体积探究中，我们发现正方体的体积是棱长的三次方，长方体的体积是长宽高之积，圆柱体的体积是地面面积与柱高之积。我们进而大胆推断任何规则的立体图形的体积是其底面积与高的乘积。这是用于诸多立体图形，比如六棱柱或者其他规则的形体。这一发现有利于我们重视并研究平面面积与立体体积之间的关系，换言之有利于形成严密的几何思想。

从美学角度讲平面与空间的类比可以达到艺术家们想要的效果，形成艺术品。学生可以通过尝试图形的“神奇”变换产生愉悦心情，进一步促进对于数学学习的热情。在一节数学课上，一位老师在展示图形对称性的时候，要求学生准备各自喜欢的几何图形作为课堂学习工具。当老师说一本书是属于轴对称图形的时候，一名同学机智的与老师争论“那么一本卷起来的书本是不是轴对称图形呢？”，课堂的气氛因此而变得十分活跃，大家争先恐后的讲述个人观点。单不说辩论的结果是什么，我想正是因为这位同学的发现，绝对让同学们就本节知识认识到位并且具有启发意义。这其实就是类比对于学习数学的意义所在，作者认为这也适用于其他学科的教学，比如美术课。

再比如教学“求多边形内角和”。学生通过联想搜索，回忆求四边形内角和的策略——把四边形分解为三角形，然后用三角形内角和得到四边形的内角和。那么教师可以引导学生用同样的策略来探索多边形的内角和，通过图形的分割即从多边形的一个顶点作对角线，把多边形分割成 个三角形，在利用三角形内角和就可以求的多边形的内角和等于 。

2.2数与形的类比教学

数与形的类比推动着代数的发展。在数学学习中有这么一种被普遍运用，即数形结合思想。数形结合其实也是一种类比，只不过这种类比就显得不是那么明确，但它的确是存在的。如何将数形结合思想认知到類比中呢？我们不需要刻板的研究。在老师讲述函数及其图像的时候都会给学生们或多或少的灌输这一方法，而事实上初中学生的认知能力是有限的，作为老师如何去正确引导很关键。在学习一次函数的时候，教师给学生也许教过这么几句口诀，“正一三，线上升；负二四，线下降”（一次项系数是正数，则图像呈现上升趋势；一次项系数是负数，则图像呈现下降趋势）、“正正不过四，正负不过二，负正不过三，负负不过一”（当一次项系数是正数，并且常数项是正数的时候，图像不经过第四象限；当一次项系数是正数，常数项是负数的时候，图像不经过第二象限；当一次项系数是负数，常数项是正数的时候，图像不经过第三象限；当一次项系数和常数项均为负数的时候，图像不经过第一象限）。这些口诀就是数与形类比的案例。实践检验证明，这样的类比不仅仅便于记忆，而且出错率很低，有助于学生学习和应试，也有助于提高学生的归类总结能力。而在讲授和探讨二次函数的时候，学生们会以此为借鉴进行独立思考，加上老师的指点，把二次函数这块重要而有难度的知识轻松掌握。endprint

当然了，数与形的类比现象和具备类比条件的实例很多。数与形的类比经常在两个相反的方向的到实际应用。通过与形的类比推断相关数的性质，也可以通过数的类比得出形的相关性质。例如通过向量、长度等概念的引入赋予所研究对象的几何意义，进而通过几何直观寻求解决问题的方法。我们上楼梯，一次只能上一个台阶、二个台阶、三个台阶，每次只能上一个台阶的整数倍，而不可以上一个台阶的0.1倍、0.2倍、0.3倍。同理下楼梯也只能下一个楼梯的整数倍，而不可能下楼梯的0.1倍、0.2倍、0.3倍。总之，我们上楼（下楼）每一步上升（下降）的高度只能是一个台阶高度的整数倍，着每一个台阶的高度就是上楼梯（下楼梯）这个问题中的“量子”，通过这样的类比大家就会恍然大悟。借助楼梯这个司空见惯的生活事实，有效地帮助同学们建立起“量子”的观念。

2.3几何与方程的类比教学

进行类比教学时，不但要多找对象的相同点，而且应找本质的相同点，既要注意问题的共性，又要注意问题的个性，我们可以将类比教学灵活应用。比如在七年级下册“线段”的学习中的这道题目：一条线段上有 个点，问共有几条线段？

显然每个点出发可以画 条线段， 个点就构成 条线段。但是每2个点之间按照上述方法计算重复了一次，所以要除以2，所以共有 条。

运用类比的思想，比较容易解决 “一元二次方程”中的握手问题：一次聚会，出席的每位代表都和其他代表各握一次手，统计结果表明，一共握手55次，问参加聚会的代表有多少人？

设参加聚会的代表有 人.每个人握手的次数是 次， 人就握了 次 ，但是每2个人之间按照上述方法计算重复了一次，所以要除以2，则有 。

3避免走入类比教学的误区

数与式的类比有助于形成独特解题思路。这一思路在初级中学数学和高级中学数学解题方面都显得独树一帜，但如果教师不加以强调，学生生搬硬套、发生定势思维的错误，极易走入类比误区，比如这道题目：

分析：类比实系数一元二次方程，利用根的判别式判别根的个数来讨论复系数方程根的情况是错误的，实系数一元二次方程 ，配方得： 因此方程有实数根，由实数平方的非负性得 ，即等价于 ，而复数集中不再有非负性，因此無法用根的判别式来判别根的个数。

应用类比，可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。正如康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。” “类比是获得发现的伟大源泉。”类比的思想在我们处理一些数学问题时的确起着十分重要的作用，我们也应该学习类比的思想，但是在利用类比的思想去处理一些问题时，我们也要注意所类比的两个事物在本质上是否是相同或相似的，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题。数学教学中应用类比方法的关键，是要善于发现两个不同数学对象在空间形式或数量关系之间的“相似”， 这种“相似”并不是简单的模仿和复制，而是富有创造性的设想和探究。

参考文献：

[1]曹为民.类比法在解数学题中的应用[J]，赤峰教育学院学报，2001（01）.

[2]黄勤新.浅谈类比教学法在初中数学教学中的应用[J]，中学教学参考，2012（26）.

[3] 李长明，周焕山. 初等数学研究[M]，高等教育出版社，1995.endprint