走出例证设计误区 提升数学课堂效能

李志朋

【摘 要】在小学数学教学中，设计好例证对于揭示数学概念的本质属性和数学规则的表征意义有着非常重要的作用。文章揭示了小学数学教师在例证设计过程中存在的常见误区，并提出了对应的矫正策略：科学兼顾例证数量与质量，合理选用肯定例证与否定例证，有效融通典型例证和变式例证。

【关键词】例证设计；肯定例证；否定例证；典型例证；变式例证

【基金项目】本文系玉溪师范学院2016年校级教改项目“PCK视角下的小学教育专业师范生数学教学能力培养研究”（项目编号：201604）的阶段性研究成果、玉溪师范学院转型发展工程子项目——应用型本科建设项目“教师资格证‘国考背景下师范生教育类课程改革与教学技能训练的实践研究”的阶段性研究成果。

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）24-0017-02

数学例证是指能够说明或代表数学概念的本质属性和数学规则的表征意义的例子。在小学数学教学中，设计好例证具有非常重要的意义。然而，现实教学中，部分教师或源于对例证设计的重视不足，或源于对例证设计的某些原则的误读，导致小学数学教学在例证选择和使用方面存在一些误区。本文主要对小学数学教师在例证设计过程中存在的常见误区进行分析并提出对应的矫正策略，以提升小学数学课堂教学效能。

一、常见误区

1. 重例证数量轻例证质量

例证的数量影响学生对概念或规则属性的概括程度。例证太少，学生对与概念或规则相关的属性往往理解不够充分，就难以分析、比较、区分同类对象的本质属性和非本质属性。然而，假如认为只要在课堂上列举大量例证就可以帮助学生形成概念或规则的丰富表象，从而使学生理解和掌握概念或规则，这种认识同样是片面的。

案例1：教学“交换律”时，教师先呈现两个一位数加一位数的例子（3+4=4+3，6+5=5+6），由此引出课题——加法交换律。接着让学生每人再列举3个类似的例子，囿于教师所列举例证的单一性，绝大多数学生只列举了简单的一位数加一位数和一位数加两位数的整数加法运算的例子。学生展示成果结束后，教师总结：“我发现每位同学列举了3个例子，我们班一共有42名同学，加起来大家已经列举了120多个例子，这些例子都证明‘两个加数交换位置，和不变。这个规律就叫作‘加法交换律。”

以上案例中的教师关注了例证的数量，让学生运用大量例证来证明数学规则，却忽视了所列举例证的质量问题，忽视了例证的广泛代表性。这一方面容易导致学生对概念或规则的理解产生窄化现象。比如，以上案例的教学可能会使学生误以为加法交化律这一规则仅适用于整数的加法运算之中；另一方面，这样的教学不利于学生数理逻辑思维的发展，学生难以在学习过程中体会数学的严谨性，不利于引导学生有逻辑、全面地思考问题。

2. 重肯定例证轻否定例证

所谓“肯定例证”，也就是日常生活中的正例，即属于概念或规则所代表的一类事物的例子。“否定例证”也就是日常生活中的反例，即不属于概念或规则所代表的一类事物的例子。基于小学生以具体形象思维为主这一认知特点的考虑，小学数学教学中往往遵循“形象——抽象——形象”的教学模式，具体到数学概念或规则的教学中便为“例证——概念/规则——例证”的模式，这样的教学模式对于小学生理解和掌握概念或规则有着非常重要的意义。然而，在实践中，例证的选择和使用方面也存在只重视肯定例证而忽视否定例证的现象，即更关注通过肯定例证帮助学生对概念或规则的本质属性的确证，而忽视通过否定例证对概念或规则的非本质属性的剔除。

重肯定例证轻否定例证的教学易导致学生对概念或规则作表面化、片面化的理解，学生往往在提取肯定例证的共同属性时将一些概念或规则的非本质属性混杂其中，而忽视了概念或规则的本质属性的抽取。最典型的例子便是学生学习“圆”这一概念时，由于教师在教学过程中仅仅引导学生列举生活中“圆”的肯定例证，如车轮、光盘等圆形物体表面，结果导致学生在头脑中形成 “曲线图形就是圆”这一片面化的理解。

3. 重典型例证轻变式例证

心理学研究表明：例证的典型性影响学生对概念属性的发现。例证越典型，概念的本质属性越明显，学生也越容易发现和概括。基于此，教学中多数教师非常重视典型例证的使用，然而也有部分教师存在对这一发现的误读，只重视在教学中发挥典型例证的作用，而忽视变式例证的价值。

案例2：教学“垂直”这一概念时，一位教师先列举生活中的“垂直”现象：书桌的一条边与另一条边互相垂直，黑板的一条边与另一条边互相垂直，墙面的一条边和地板的一条边互相垂直，等等。在所列举现象的基础上抽象出数学图形“十”，让学生形成“互相垂直”的两条直线的表象，然后引导学生得出“互相垂直的两条直线相交成90°”这一结论。

以上的教學中只关注了“垂直”的典型例证：水平方向的直线与铅锤方向的直线互相垂直的现象，而忽视了“垂直”的变式例证：方向不是水平方向或铅锤方向的两条直线互相垂直的情况。这样的教学容易限制学生的思维，使学生对概念或规则的理解狭隘化。如上述案例，在教学结束后，笔者访谈学生发现：大多数学生头脑中对“垂直”的理解仅限于“水平方向与铅锤方向的两条直线的关系”，而未真正抓住“相交成90°”这一概念的本质属性。

二、矫正策略

1. 科学兼顾例证数量与质量

在小学数学教学中，为了帮助学生全面、深刻地理解概念或规则，在关注例证数量的同时也需要考虑例证的质量，科学地兼顾数量与质量。具体而言，在选择和使用例证时，应关注例证的代表性和全面性。同样以“交换律”教学为例，有的教师让学生举例时就通过设计“例子比较”这一环节，让学生体会例证的代表性和多样性。

案例3：教师呈现两个学生所举例子，问学生：“一位同学举了8个例子，另一位同学只举了3个例子，你们觉得老师更喜欢哪种呢？”endprint

学生在比较中发现：第二位同学虽然举的例子数量少，但是较为丰富、全面。在此基础上，教师又引导学生列举分数加法运算和小数加法运算的例子，以此引导学生感受：在验证数学概念或规则时，所举的例子应具有代表性和全面性，进而引导学生感悟：数学是一门严谨的学科。

2. 合理选用肯定例证与否定例证

在教学中，将肯定例证与否定例证相结合，有利于学生更好地理解数学概念或规则。在教学“圆”这一概念时，如果列举了一些“圆”的肯定例证之后，教师能适时地引入“椭圆”这一否定例证，就有助于学生剔除“曲线”这一非本质属性，从而进一步把握“圆”这一概念的本质属性。

在将肯定例证与否定例证相结合时，需要注意否定例证的呈现时机。一般而言，否定例证在学生对概念或规则有了一定理解的基础上呈现，效果较好。如果在学生初步接触概念或规则时就呈现否定例证，有可能使错误观念先入为主，对概念或规则的理解产生干扰。除此之外，选择和使用否定例证时，还需注意应尽可能选择和使用那些具有一定迷惑性的否定例证，因为这样的否定例证更容易产生认知冲突，能帮助学生剔除概念或规则中的非本质属性，进一步把握其本质属性。

3. 有效融通典型例证和变式例证

典型例证重在让学生把握概念的内涵，变式例证更有利于帮助学生拓展概念的外延。在小学数学教学中，先呈现若干典型例证，保证其相同的属性；再呈现若干变式例证，使无关特征在不断变化的同时总保持本质特征不变。这样的教学有利于学生把握概念的本质属性和规则的运用范围。例如，教学“垂直”这一概念时，学生建立了“十”的表象之后，呈现方向不是水平方向或铅锤方向的两条直线互相垂直的情况，提出疑问：“这样的两条是否互相垂直？”引导学生思考：判断两条直线是否互相垂直的标准是“两条直线是否相交成90°”。在学习过程中，学生不被图像的表象所迷惑，而关注事物的本质特征，达到对概念或规则全面、深刻的理解。

例证是影响学生学习数学概念、规则的重要因素，它是学生感知、概括数学概念和规则的重要载体。因此，在小学数学课堂教学中，需要教师根据数学概念的本质属性、数学规则的表征意义，科学地选择和设計呈现给学生的例证，兼顾例证的数量和质量，充分选用肯定例证、否定例证、典型例证和变式例证，以此提升数学课堂教学的效能。

参考文献：

[1] 黄伟星.数学概念教学过程中的例证设计[J].教育研究与评论（小学教育教学），2010，（4）：27-29.

[2] 林武.小学数学概念教学——行与思[M].北京：教育科学出版社，2014：159.

（编辑：易继斌）endprint