小学数学拓展资源学具的价值与应用

马伟伟

学具是把“实际问题”抽象成“数学模型”有效的方式。笼统地讲，凡是教学过程中使用的直观用具，均可纳入学具范畴。作为小学低段的数学老师，应该对学具在教学中的价值以及使用方法有正确的认识。

一、学具在小学数学教学中的意义

1.使用学具可以化抽象为具体

儿童认识事物遵循“感知—表象—概念”的规律，数学知识（数学概念、数学计算、解决问题）相对抽象，小学生处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的时期，所以学生需要通过动手操作来充分感知具体形象的事物，获得感性认识，形成知识的表象。在此基础上，教师再引导学生深入探索，从事物的表象中概括出事物的本质特征，从而形成抽象的数学知识。

以认识数学概念“平均分”为例，我们可以为每组同桌提供6张印着苹果的图片，让同桌分一分，想怎么分就怎么分，并记录分的结果。学生可能会出现（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）的结果，然后追问：“哪种分法最公平？”学生通过观察讨论，知道（3，3）这种分法每人分得的个数“同样多”，最公平，教师顺势告知这种分法有个特殊的名字，由此引出“平均分”的概念。借助实物图片，学生经历了自由分的操作活动，再通过教师的引导，学生把直观的分物过程与抽象的数学概念结合起来，使概念具体化，学生明白了平均分的本质特征就是每份分得“同样多”。

2.使用学具可以化解难题

教材中的一些拓展题只靠口头分析及讲解，学生很难理解，借助学具，有些难题就很容易被理解。以三年级下册“面积”单元里的一道拓展题为例。“王老师为小朋友准备了一张长32厘米、宽15厘米的长方形彩纸，最多可以剪成边长是2厘米的正方形彩纸多少张？”很多学生都用大面积除以小面积的方法求出120个，但也有一部分学生注意到了大长方形纸不够剪整个小正方形那部分，其中有学生亲手做了学具，我把这位学生的作品展示给大家，很多学生都恍然大悟。我请学生交流为什么不能用大面积除以小面积的方法，并请学生思考究竟要怎样列式解题。学生在观察、思考、交流中明白了，先求出一行能剪几个（和大长方形的长有关系），再求能剪这样的几行（和大长方形的宽有关系），问题就解决了。我继续追问：“我觉得大面积除以小面积的方法也很好，想想什么情况下我们也能选用这种方法？”学生在交流经验的基础上很快明白，当长和宽除以小正方形的边长都能除尽的情况下使用这种方法正好。有了这一份学具，做错的学生不仅认识到自己错在哪里，而且明白了这类问题的解决方法。

3.使用学具可以化被动为主动

使用学具，会改善学生听教师讲、学生看教师做的被动性。学生能亲自参与知识产生的过程，向教师主动发问，向同伴大胆质疑。

再以“面积”单元的拓展题为例，在讨论过程中，有位学生举手提问：“我有个想法，如果剪的不是正方形，而是长方形，应该怎么计算呢？”我心中窃喜，学生真的在主动思考了！于是我首先肯定了她的问题，在课后留了一份手工作业：每位学生制作两张长方形卡片（长30厘米，宽24厘米）。学生完成后，我筛选出可以忽略误差的作品，引导学生继续思考：这样的一张长方形卡片最多能剪多少个长10厘米、宽8厘米的长方形？学生通过量一量、画一画、剪一剪，得到9个这样的小长方形。课上我先请学生把剪好的小长方形密铺在另外一张大长方形纸上，检验结果是否正确。在直观的展示下，学生观察到这一张大长方形的纸确实能剪出9个小长方形。我继续提问：“刚才同学们通过剪纸找到了结果，谁会通过列式解决问题呢？”有了操作的经驗和密铺的直观感受，学生很快提到先求出一行能剪几个，也就是30÷10=3。我追问：“谁能把这个算式表示的意思摆出来？”看到一个个举起的小手，我知道他们真明白了。然后学生用24÷8=3，求出能剪这样的几行，我又让学生摆出了这一步表示的意思，最后3×3=9顺其自然。接着我故意制造冲突，我把小长方形的长边对着大长方形的宽铺，问：“怎么铺了6个就不能再铺了？这样剪也行啊！”生：“题中说的是最多！”我：“那到底怎样剪才能剪出最多的三角形呢？”“刚好能除尽、余数小的……”我听懂了他们的想法，只是学生用语言表述有些困难，于是我用一个具体例子引导他们思考。我把黑板上的长方形纸的长由30厘米假设成48厘米，宽由24厘米假设成30厘米，问这张纸最多能剪多少个长10厘米、宽8厘米的长方形，应该怎么剪。“竖着剪，因为30除以10能整除，48除以8也能整除。”但是接着就听到“如果都有余数怎么办？”“可不可以有的横着剪，有的竖着剪”……学生们真的在思考，他们的想法如何落实，还需要后续的操作来验证。课下我和一位学生交流：“咱班同学的想法真好，还想到了横着和竖着结合着剪。”这位学生笑着说：“这样比较复杂，得把大长方形分成两部分计算。”可以看见，学生在动手操作中，不断地思考，有质疑、有验证，这样的学习过程不正是我们想要的吗！

二、对学具的开发与应用的思考

1.学具的来源

在小学低段和教材内容配套的学具太少，除了教材最后附页中的一些图片或图形外，没有现成的学具，所以学具主要靠教师组织准备。有些常规学具需要学生人手一份，比如计数器、小棒、七巧板，教师就要组织学生统一购买，在这里要提醒大家在购买时最好选用材料稳固可以长期保存使用的产品（我们当时统一购买的计数器很多都已损坏）。教师自制的学具从数量上有3种情况：每人一份；每组一份；单独一份既做教具又做学具。有时教师也会请学生自己制作或从家里带一些物品作为学具，往往不能保质保量。所以我还是期待每位学生都有自己的学具袋，保证与教材内容相关的学具都有，教师就可以在现有学具的基础上进行进一步的开发应用。

2.学具的开发

首先可以使用实物，比如《数花生》中用的各种豆子；再比如华应龙在《游戏规则的公平性》中用啤酒瓶盖、骰子、硬币作为学具。只要用心，生活中的许多实物都可以被开发成学具。也可以用模型替代，比如《认识钟表》所用的钟表模型，还有四年级《烙饼问题》用厚纸板剪一个椭圆代表锅，剪三个圆形代替饼，圆形的正反两面涂上不同颜色代表饼的正反面，制作“烙饼模型”。还可以图像模拟，比如实物图形——动物、食物、汽车图像卡片等，在低段教学中特别受学生喜欢，再比如制作数字卡片和符号卡片搭配使用进行四则计算。另外，我相信如果教师有更强的创新精神与扎实的专业知识，应该还能制作出难度较大的学具，比如仪器。不管我们如何开发学具，有两点要研究：学具与教学内容的关联性；学生操作这些学具的便捷性。这样学具才能发挥出实效性。

3.学具应用中的调控

学具开发得好是前提，要想发挥学具的实效性，需要教师的调控。首先，学生操作前，教师要引导学生明确动手操作的目的、要解决的问题，还要让学生清晰操作的流程，这样学生的操作才是有序的，学生的思维才是有目的的。其次，学生在操作过程中，教师要及时巡视，参与到多组活动中进行调控，促进学生清晰地认识自己正在经历的数学活动。对于学习能力强的学生，要鼓励他们创新，对于学习能力弱的学生，给予示范点拨。同时关注个性化的思维，这样可以平衡活动的进度。最后，学生活动结束后，教师要组织研讨，学生有自己的发现后最渴望表达分享，教师可以先让学生在组内交流，再在全班分享。教师还要根据巡视中了解的情况，请不同层次的学生进行分享，并组织大家积极评价、建议，让学生在研讨中充分感受操作的过程与结果，逐步建立清晰的知识表象，从而促进抽象知识的建构。

（作者单位：北京师范大学亚太实验学校）

责任编辑：肖佳晓

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