巧用线段图突破总量用1表示的分数除法

莫广

【摘要】本文论述了教师充分利用线段图，帮助学生分析总量用“1”来表示的分数除法例题，让学生经历自主探索、解决问题的过程，掌握用假设、验证等方法解决问题的基本策略，并体会模型思想。

【关键词】线段图 观察 猜测 验证 模型思想

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章編号】0450-9889（2017）07A-0059-03

人教版数学六年级上册第42页例7是2011年版教材新加入的内容。它是一类特殊的实际问题，让学生通过假设、尝试和分析，找到本质的数量关系，进而解决问题。本例虽然采用的素材是“工程问题”，但并不要求学生解决各类“工程问题”，而是要借此让学生经历自主探索、解决问题的过程，掌握用假设、验证等方法解决问题的基本策略，并让学生在此过程中体会模型思想。

“工程问题”在旧版教材中也曾出现过，当时的教学大多数教师只是让学生生搬硬套公式来计算，即使这样，仍然有相当一部分学生连公式也不会套用。因此“工程问题”成为了当时教学的一大难点，令众多师生头疼。新课改以来，笔者认真研读了课程标准和教师用书，力图领会编者意图后才教学这一内容，但由于种种原因，仍然感觉自己的课堂比较“夹生”，虽然学生都会计算，但多数学生却只是死套公式，对于为什么工作总量可以用“1”来表示却不是很清楚。笔者充分利用学校举行的“骨干教师示范课”为契机，决定好好深挖这个例题，要让学生不仅知道怎么计算，更要知道为什么这样计算。

经过反复研读教材与教师教学用书，笔者确定了教学本例题的重点是让学生通过解决此类问题，经历把现实问题模型化的过程，透过各种现实的表象，找出隐藏其后的数量关系。而在学生通过假设不同的总路长，发现总路长不同，算出的总天数都是相同的后，要让学生理解“为什么总路长改变，得到的总天数却是不变的？这个问题中什么东西是不变的？”（见六年级上册教师教学用书P81）。

如何突破本例题的重难点？笔者思考良久，决定以线段图来突破：在复习导入这一环节，引导学生复习回顾简单的含有工作效率、工作时间和工作总量的实际问题，并将这样的题目用线段图来表示，在引导学生看图的过程中让学生体会“只要工作效率不变，完成的总天数也不会变”这一句话的含义，进而将抽象的知识直观化，为例题的学习做好铺垫。在学习新知这一环节，学生通过用自己假设的数据计算出总天数后，在观看微课视频中，笔者再次运用线段图，直观地让学生理解“两队每天修的长度占总长度的几分之一是不变的”这一抽象的结论。

有了这样的设计思路，笔者开始了自己的磨课历程。

一、初次试课，线段图作用凸显

（一）在复习引入这一环节，笔者这样处理

1.说说工作总量、工作效率、工作时间之间的关系，教师根据学生的回答相机板书三个关系式在黑板上。

2.口答

（1）一条道路长30米，如果每天修6米，（ ）可以修完。

（2）一条道路长40米，如果每天修8米，（ ）可以修完。

（3）一条道路长50米，如果每天修10米，（ ）可以修完。

3.出示线段图，看懂线段图

（1）如果我们用一条线段表示道路的总长度是30米，那么第（1）题我们可以这样表示。

（2）第（2）题，我们还是用一条线段表示道路的总长度是40米，大家想一想，这条线段我们应该画得比第一条线段长一些还是短一些呢？

（3）第（3）题表示道路总长度的线段呢？

4.思考：道路的总长度在增加，为什么完成的天数却没有变呢？

看完线段图并在教师抛出问题后，很多学生就举手示意知道答案，当时笔者心里没底，担心这么难的问题学生回答不出，于是要求大家分小组讨论。笔者深入到学生中间，却惊喜地发现几乎每个组里都有学生能找到答案：有的学生是从商不变的性质这个角度分析；有的学生则抓住线段图的精髓，找到了变化中的不变量。最后笔者引导各组学生反馈并统一意见：每天修的米数在变，但是每天修的长度占全长的没有变化。

从口答题中引入线段图，通过三条线段图的对比，学生直观地看到道路的总长度一直在增加，而每天完成的千米数也在增加，不变的是每天修的长度占全长的几分之几。一系列问题的设计环环相扣，化抽象的知识在简单直观的线段图中，旨在让学生初步体会变化中存在的不变量。这样的设计为学生学习例题打下了良好的基础。

（二）新授环节的处理

以“一条道路如果两队合修，会出现什么情况呢”为导语，笔者和学生一起进入了例题7的学习。按照改版后教材教学解决问题的要求，笔者将新课部分分解为阅读与理解、分析与解答、回顾与反思三个部分进行教学，每个环节均有侧重点。

1.阅读与理解

在这一环节中，笔者直接出示例题，让学生默读题目，找出已知条件与所求问题。重点让学生理解例题中的关键词“两队合修”的含义。对于六年级的学生来说，“两队合修”的解释过于简单，学生很快给出了答案：两队合作完成。笔者追问：猜一猜，两队合修，所用的天数与他们单独修所用的天数相比，应该是多还是少？会是一个什么样的范围？

在短短5分钟的时间里，笔者将例题信息完整地呈现在学生面前，引导学生充分阅读，找出条件和问题，分析关键信息，鼓励学生合理估计合修所用的天数，加强估算意识的培养。课堂中学生的表现很棒，估算出两队合修的天数应该比12天要少，这样的教学设计为后面的“回顾与反思”环节埋下伏笔。

2.分析与解答

（1）以问题为指引，为学生提供充分的探究时间和空间

笔者紧扣工作总量、工作效率与工作时间三者之间的数量关系，设计了一系列的问题：

①求两队合修几天可以完成，就是求两队的工作时间。

②求工作时间，必须要知道哪些信息？endprint

③如果知道了这两个信息，这个问题可以怎样解决？

④我们需要的这两个信息题目中都没有给，怎么办？

⑤我们能不能先假设出这条道路的长度，再计算呢？你想怎样假设？

⑥根据自己假设的这条道路的长度，请列式计算。（在练习本上完成）

通过系列問题的指引，引导学生发现问题、大胆质疑、敢于假设、尝试解决。通过假设，可以把抽象问题具体化，使复杂的数量关系明显化和简单化。不同的学生假设的长度不同，又体现了解决问题方法的开放性和多样化。让学生经历这样的过程远比给予现成的结论更有价值。

（2）独立思考，讨论交流，寻找不变量

笔者将不同学生的答案通过实物投影展示出来，引导学生观察对比：“看了上面几位同学的做法，你有什么发现？”学生通过假设不同的总路长，发现总路长不同，算出的总天数都是相同的。此时笔者引导学生思考：总天数和总路长有关系吗？为什么总路长改变，得到的总天数却是不变的？这个问题中什么是不变的？有了前面复习引入环节的铺垫，经过小组讨论，学生很快发现了不管两队每天修的长度是多少米，他们每天修的长度总是这条道路的和，工作效率不变，完成的天数也不会变。

在“复习引入”环节中学生有了第一次观察对比的经历，初步体会到变化中存在着不变；在独立假设总路长计算出例题的结果后笔者再次引导学生进行了第二次的观察对比，所提出的问题与“复习引入”环节中的问题相似，学生很快将前后两个环节联系在一起。两次观察对比，一次比一次更深入，沟通了知识之间的联系，再次加深了学生对于“变中有不变”的数学思想的认识。

（3）观看微课，抽象出工作总量可以用1来表示

小组讨论，学生总结出工作效率不变，完成的天数也不会变这一规律后，笔者利用微课视频向学生展示了用线段图表示道路的路程总长度分别为18千米和36千米时，每天修的路程总是这条道路的和，借此抽象出道路的总长度可以用单位1来表示。

学生经历了两次观察对比和思考，懂得了无论假设道路总长度是多少，计算出的工作时间都相同这一结论的原因，但是将具体的数量抽象成单位1，相当一部分学生还是感觉比较困难。这时，老师运用了微课视频来辅助教学，一是让学生感觉很新鲜，注意力再次集中；二是视频将线段图与有声讲解完美结合，充分激活了学生的视觉和听觉，再次将抽象的知识形象化。

（4）第三次对比，辨析分率与实际量

经过观看微课视频，学生掌握了把工作总量看作单位1的计算方法。笔者从视频中截取出这样的一副线段图（图4），然后根据图示设计了这样的问题：

①1.5千米和都表示一队1天修的长度，有什么不一样吗？

②在解决问题时，什么情况下工作效率用实际量表示，什么情况下用分率表示呢？

这样的教学设计，搭配上线段图，并结合已经推导出的两种不同的解题方法，旨在帮助学生归纳总结出当工作总量已知，是一个具体量时，工作效率可以用实际量来表示；如果工作总量未知，工作效率就可以用分率表示这样的规律。进而培养了学生具体情况具体对待，不再生搬硬套的灵活解题思路。

3.回顾与反思

在此，笔者先引导学生回忆了开课之初的猜测，两队合修，所用的天数应该比一队单独修的12天少，那么计算的结果是否印证了猜测呢？进而向学生潜移默化地渗透了将答案代回题目中看看是否合理的反思方法。紧接着让学生畅所欲言，充分交流不同的检验方法，学生既可以用抽象“1”的方法来检验，也可以用假设的具体数量来检验，目的是让学生掌握检验的方法，养成回顾与反思的良好习惯。

第一次试课，刚刚完成新授环节就下课了，预设的巩固练习的环节没有讲解。课后，经过教研组成员的讨论、评课及自己的反思，笔者认识到本次试课有以下两点不足：

（一）复习引入环节投入时间过长，教师带得过多，还是不够相信学生

通过三条线段图的对比，让学生初步体会“变中不变”的设计思路是正确的，线段图已经实现了抽象的知识直观化，在这一环节，学生不需要讨论就可以初步体会道路的总长度一直在增加，而每天完成的千米数也在增加，不变的是每天修的路程占全长的几分之几。因此，大家认为小组讨论的环节可以舍去。

（二）将工作总量抽象成单位“1”的过程是学生被动接受的过程，学生被教师牵着鼻子走

将微课模式引入课堂能给学生带来视觉和听觉上的冲击，但是“工作总量可以用单位1来表示”这一难点是由老师传授给学生的。其实，经过前面两次观察对比及学生亲自假设计算，学生已经发现两队每天修的长度占总长度的几分之一是不变的，将工作总量假设为“1”这样的解题方法已经是呼之欲出了。微课视频在本节课的功能不是告诉学生工作总量可以假设为“1”，而应是在学生尝试用“1”来计算的基础上帮助学生验证自己的算法是否正确，并弄清算法中出现的各个数字所表示的含义。

二、再次试课，重难点基本突破

有了第一次试课的经验和及时的反思总结，以及课题组老师的帮助，笔者调整了教学过程并进行了第二次试课。

（一）复习引入环节

1.将复习引入环节中复习工作总量、工作效率和工作时间的关系与口答题进行整合

口答下面各题，并说说运用了哪些关系式？

（1）一条道路长30米，如果每天修6米，（ ）天可以修完。

（2）一条道路长40米，如果每天修（ ）米，5天可以修完。

（3）一条道路长（ ）米，如果每天修10米，5天可以修完。

2.用线段图表示出上面三道题之后，教师提问：“道路的总长度在增加，为什么完成的天数却没有变？”舍去讨论环节，此处仅是让学生初步体会“工作效率不变，完成的总天数也不会变”的规律。

改动后复习引入环节占用的时间少了，提高了复习的效率，题目精炼了，老师讲得少，留给学生观察思考的时间多了，从一开课就将学生的注意力牢牢地吸引在课堂中。endprint

（二）新授环节

1.通过教师的追问让学生亲历由具体数量逐步抽象的过程

新授环节前面不变，在教师引导学生对比讨论，发现“两队每天修的长度占总长度的几分之一是不变的”后，教师追问：既然不同的假设都能得出相同的完成时间，在那么多的假设数字中，同学们最喜欢哪个？有没有什么数字是最具代表性的？学生很自然地想到可以把道路长度假设成“1”，那么根据刚才的解题步骤，如何表示各个量呢？让学生试着用这样的方法解决例题。这样的教学设计更灵动，体现了学生的自主学习，让学生亲自经历这一从具体数量逐步抽象的過程，而不再是在最关键的时刻由教师进行包办代替，这对提高学生解决问题的能力至关重要。

2.利用微课验证新算法，明确算式中各个数字的含义

学生经过思考写出工作总量用单位“1”来表示的解题方法后，教师提问：“你算对了吗？请认真观看微课视频。”让学生带着问题观看视频，使学生的观看更具目的性，注意力更为集中，既解决了学生计算是否正确的问题，又解决了为什么这样算的问题。

（三）巩固练习环节

经过前面两处的调整，第二次试课终于有了巩固练习的时间。笔者选择了三道题：

1.一批货物，甲车单独运，6次才能运完。乙车单独运，3次就能运完。如果两辆车一起运，多少次能运完这批货物？

2.挖一条水渠，王伯伯每天挖整条水渠的，李叔叔每天挖整条水渠的。两人合作，几天能挖完？

3.一共有300棵树，如果甲队单独种，需要8天；如果乙队单独种，需要10天。现在两队合种，5天能种完吗？

这三道练习题，虽然题目的情境各不相同，但与例题中的工程问题有许多可类比的相同点，旨在让学生体会到在不同的情境下相同的解题方法，从而更好地帮助学生抓住本质的数量关系，建立数学模型。

经过两次试课，教学的各个环节已经基本完善。纵观整节课，以寻找“变中不变”为主线，以线段图为突破口，以问题为指引，学生在参与观察、猜想、验证等数学活动中，发展合情推理能力；学生经历和与同伴合作交流解决问题的过程，并根据线段图尝试解释自己的思考过程，初步判断结果的合理性。通过例题的学习，学生会用假设法解决问题，会找到“变中之不变”，会找到这一问题背后的数学模型，并把这一模型应用于其他的情境之中。

（责编 林 剑）endprint