从一群人迈向每一个人

巩子坤　丁杭缨

一、从一群人的数学学习，迈向每一个人的数学学习

巩子坤（以下简称“巩”）：丁老师，你好。我最近看了你的一篇文章，其中提到了一个很好的观点，即小学数学教育要实现“从一群人的数学学习向每一个人的数学学习转变”。请你解释一下这句话的含义，你是基于何种背景提出这个观点的？

丁杭缨（以下简称“丁”）：我们习惯的数学学习（教学）常常以班级为单位，安排了标准课时，设定了标准内容，制定了标准评价，总之，是在用一种相同的方式面对千差万别、性格迥异的孩子。其实一个班中每个孩子都是个性化的，每个孩子在数学学习中的表现都是有差异的，比如他们数学学习的风格、数学学习的方式等。所以我们需要转变一种观念，即“把一个班当作一个孩子来教”转变为“把一个孩子当作一个班来教”。

巩：我们常说，教育要尊重孩子、爱护孩子，提倡尊重的教育、爱的教育。但是，要实现这样的教育理念，说说容易，做做难，还需要下很大的工夫。

丁：是这样。要实现尊重的教育，我们就要蹲下身来，放平目光，用每一个孩子的视角去看待、研究孩子的数学学习内容、方式、场地等，同时全方位了解孩子们在数学学习中的个体差异，让教与学有的放矢。正是基于这样的考虑，提出了数学教育要实现“从一群人的数学学习，迈向每一个人的数学学习”转变。

巩：《义务教育数学课程标准（2011年版）》也提到，“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”我想也是这个意思，问题是有了好的想法、好的理念后，还需要有好的路线图、好的操作方式。可否介绍一下在实际运作层面，怎样实现“从一群人的数学学习，迈向每一个人的数学学习”转变呢？

丁：我们紧紧抓住数学学习内容、数学学习方式、数学学习场地三个重要元素。从儿童的视角出发，梳理适切的内容，拓宽教学广度，扩大教学空间，丰富教学形式，构建适合儿童的数学课程体系；从π空间站出发，让儿童走近数学，喜欢数学，主动地学习数学，形成数学品质，锻炼数学意志，培养数学气质，让数学融入生活。

二、把数学学习的内容看成是关系、意义和过程的复杂统一体

巩：我们就来具体聊聊这些转变。

丁：数学课程给人的印象往往是事先设定、均码标准化的，从书本到书本，从习题到习题，因此它的话语视线会比较单一。我们希望把数学知识看作是关系、意义或过程的复杂统一体，更重视数学知识和学生相联系，让数学知识成为学生生命中不可或缺的组成部分。

举一个例子：四下三角形单元的一般课时安排是“三角形的认识（特性）—三角形边的关系—三角形的分类（按边分、按角分）—三角形内角和—四边形内角和”，这些内容按照知识点来切割没有什么问题，但是学生学习时更需要知识的关联性、整体性。大部分教师认为，只要把单个的知识教给学生，学生会很自然在头脑里把这些知识点连在一起。基础好的孩子也许能够做到，但大部分学生是做不到的，把有结构的知识教给孩子，孩子才能够更好地建立起知识间的联系，这个关联是多维度的，除了知识点上的关联，还有知识链和知识网上的关联。如果数学知识能再与学生的学习产生共鸣，它就会有过程与意义了。

巩：我们就以三角形为例，来具体说明怎样将这些内容关联起来。

丁：我上过“三角形认识（特性）”的公开课，虽然学生学得不错，但我还是感觉他们在认识三角形的高时有点“飘”，对各类三角形高的空间观念的建立相对孤立，用数学语言描述即比较抽象。我在找原因也在找策略，如果能调整一下内容，在三角形分类的大背景下，先认识直角、钝角、锐角三角形或等边、等腰、任意三角形，再认识高，会让高不再表现为“点状”的抽象，而是“网状”的具象，建立起来的空间观念会实实在在一些。

巩：这种现状你称之为被打断的学习内容。

丁：是的。被打断的学习最主要表现是学习内容因为课时等原因被隔离，甚至阻断。我们做了小尝试，重新架构三角形单元的内容，让学习不再被打断。在描述了三角形的定义后，用一个大课时（约1小时）研究边、角的关系，包括三边关系，长边对大角，三角形按边、角分类等，再来研究三角形的高与特性。其目的是通过认识不同类型的三角形，再深入理解和掌握三角形的高，三角形的认识和高的学习呈螺旋上升状态，它们之间建立的关系对孩子来说有效、有意义，更有价值。

巩：我想你说的关联就是“高和不同类型的三角形之间的关系”。

也就是说，在学习内容上，教师将思路理清，又不受课时、课堂的限制，呈现给学生有联系的内容、有结构的体系，更利于学生构建知识。如果让学生来构建知识的结构或网络，会耗费很大的精力。你的设想很胆大，但是有一点问题，如果有的课要连续上两节课，有没有困难，会不会对教学产生什么冲击？

丁：其实大课时（1小时）不是一种常态，我们长江的数学课堂非“均码”的，不同课时（还有标准课35分钟、微课20分钟）的组合是根据单元内容进行设计的，需要提前规划、安排。

在三年级“分数初步认识”中我们也做过尝试：“几分之一、分数单位、几分之几、简单分数比较、简单分数加减”是一个整体，一节课中只认识几分之一或几分之几都觉得是一种缺憾，因为这几个知识点是彼此缠绕互相补充而存在的，所以它需要有一个网状架构，及这个架构在孩子头脑中的整体呈现。我們打破“几分之一—几分之一的分数大小比较—几分之几—几分之几的分数大小比较—简单分数相加减”的6课时规定安排，采用了2个大课（分数初步认识+分数的巩固与运用）的形式，学生通过绘本故事串起6个知识点的学习，学生的思维在这几个内容之间自由穿梭，彼此补充，更重要的是让分数与学生的生活发生关联，这样他们认识的分数概念才会丰满、有生命力。

巩：这让我想起了胚胎学说：胚胎的生长不是某一个器官单独发育的，一定是各个器官同时发育。学习的发展类似于胚胎的发育，一定是整体发展的。正因为如此，布鲁纳特别强调学科结构的重要性，这和你刚才的说法有很大的相似性。你刚才的例子很好，比如分数的学习：单位分数和非单位分数，大小比较等，这些内容本质上是一起往前发展的，不可能把它们割裂开。既然是整体发展的，当然要放在整体结构里去学习。

三、构建适合儿童的数学课程体系，丰富学习形式

巩：你还提出了被异化的学习，什么是被异化的学习？

丁：当数学学习以考试作为目标，以题海战术训练为法宝，以获得知识的结果为追求，当学习被简化成了分数时，这就是异化的学习。其实数学学习本该是学生自主生长、积极探索知识、自主建构知识的过程。孩子们需要关注和经历知识发生发展的过程，需要熟悉和掌握学习的方法，更需要体验探索的滋味及失败后成功的乐趣。

巩：是呀。即便是课程改革不断推进的今天，实事求是地说仍然有异化这种现象存在。理解一些新的理念是一回事，而具体实施是另一回事了。

丁：异化有两个突出的表现：第一是依靠外界，也就是学生的学习依赖老师和教科书；第二是不会学习，很多数学学习特有的直觉与想象、猜测与反思、观察与实践、反省与推理等过程被异化、淡化、简化，学生直接用解题、刷题的方式来学习。

巩：针对你刚才说的两点，即离开了老师、教材，学生就不会学了，省略了学习的过程，怎样从异化走向正常化呢？

丁：从异化走向正常化首先需要从外围突破，比如学习的内容、学习的形式、学习的时空等。刚才提到的大课，因为时间充足，开展合作性学习、探索性学习就有了保障。我们还有数学微课，以数学游戏为主要内容，在激活数学知识解开游戏奥秘的同时，发挥主动性和积极性。还有虚拟课堂，人机互动、自主菜单式的学习，学生自己选择内容及表现形式，进行更深入的个性化学习。

巩：就是通过不同课堂组织方式真正转变学习方式，来解决学生在学习过程中出现的异化现象。可否举例来说明呢？

丁：这几年我们在开发数学游戏，数学游戏不仅能激活并还原数学知识，还能让孩子从崭新视角领悟学习的艰辛与快乐，培养学习毅力与学习品质。以“微课+数学游戏”为主要方式，创新了数学学习的内容和媒介。

还是以三角形单元为例，一般学习三角形三边关系的方法是让孩子用小棒围三角形，看看是否能围成，来探究三角形三边关系。现在我们通过“恼人的铅笔游戏”这个数学游戏激发孩子们的探索欲望，在“尝试—失败—反思—再尝试”中主动学习。做游戏的过程，是知识的探索过程，也是知识的巩固过程，更是知识被激活显现价值的过程。

四、从π空间站出发，让儿童走进数学，让数学融入生活

巩：关于数学学习场地，你是怎么理解的？

丁：通常教室是学生数学学习的主要场地，但是只有教室是不够的，学习环境与空间不能满足不同教学内容选择不同的课堂，不同的课堂采用不同的学习方式的物质需求。因而，我们提出要拓展数学学习的场地。我认为数学也需要有实验室，数学也需要实践，所以在“长江”有一个纯粹的数学学习场所——π空间站，预示着孩子们的数学学习像π一样有无限的可能。

巩：是呀。室外是一片广阔的天地，数学是大有作为的。能够具体谈谈你们的做法吗？

丁：我们把传统意义的课堂，拓展到π空间站，再扩大到整个校园里。在校园里我们设计了数学步道，让孩子用数学的眼光观察校园的布置。校园的角落会有一些二维码，扫一扫会有与当下环境密切相关的数学题目跳出，比如窨井盖的直径与面积，大屏幕的面积与价格，门厅里斜坡的角度怎样测量，整个学校的空间都可以成为数学学习的场所，更重要的是养成用数学的眼光和思维来看待事物。

巩：长江实验小学到处弥漫着数学的味道，到处充盈着数学的魅力。我想知道，π空间站是如何发挥作用的？π空间站像数学实验室、数学阅览室、数学个性化学习的场所，是拓展性课程实施的场所，对吗？

丁：是的。π空间站目前有关数学的书籍共有3032册（数学绘本938册，数学研究636册，理论专著495册，国外教材155册，国内教材808册）；数学益智玩具140多种，学生上课使用50多种；还有与课本配套的1～12册微课500余节；5台触摸式电脑、一台投影仪、40台ipad和苹果全景课堂技术软件等。数学课、数学拓展类课甚至是阅读课都可以搬到π空间站，是学生非常向往并且喜欢的一个学习场所。“长江”还是教育部教育装备研究与发展中心主办的“中小学数学实验室建设的研究”课题研究的主要成员单位。

五、从关注教学转变为更加关注学习

巩：在我看来，我们所谈到的上述转变，更多的是从教学的角度来考量的：如何整合内容，如何转变学习，如何拓展场地。

据我所知，你的名师智慧空间站已经开展了3年“小学数学相异概念”的研究，也就是要看一看，孩子在学习新的知识之前，头脑中已经具备了哪些经验与知识。当然，这些经验与知识，可能是正确的，也可能是错误的，更有可能是正确与错误混杂的。

这是否表明，你已经将更多的精力投入到对学生、学习的研究了？

丁：是呀。近三年我和我的团队研究了学生数学学习中相异概念以及转变，接下来在此基础上，我们还将进一步研究学生的学习风格。每个孩子都是一个与众不同的独立个体，每个人的学习风格也是独特的。比如，在表征某些概念的时候，有的学生长于圖像表征，有的喜欢语言表征。相异概念和学习风格的研究让我们更能站在儿童的立场展开教学。

巩：这个研究方向很有价值！也许低年级的学生还谈不上学习风格，学习风格是高年级学生才逐渐形成的，所以我觉得这个研究在某种意义上是指向更高段的学生。

深入开展数学教学改革，关键是要从学生入手，设身处地从学生的视角来考虑问题：学生在接触新知识前，头脑中有哪些前概念（相异概念），会按照怎样的学习路径来探索这些知识，有哪些学习习惯，有怎样的学习风格，等等。这些都是值得我们深入思考、认真探索与解决的问题。期待通过研究，数学教育工作者能够提出更好的解决问题的方案。

（杭州师范大学理学院 310036

杭州长江实验小学 310006）