交换环上保持矩阵k幂等的映射1

赵显贵，张国庭

（惠州学院 数学与大数据学院, 广东 惠州 516007）

交换环上保持矩阵k幂等的映射1

赵显贵2，张国庭

（惠州学院 数学与大数据学院, 广东 惠州 516007）

域上的矩阵保持问题是矩阵代数中一个活跃的研究领域, 并取得丰硕的成果.本文研究交换环上的矩阵保持问题, 刻画了交换环上的全矩阵空间和上三角矩阵空间中保持矩阵 k幂等的映射.我们的结果推广了已有的若干结论.

矩阵保持问题; k幂等矩阵; 全矩阵空间; 上三角矩阵空间

1 引言

矩阵论是代数学分支中的一个重要研究方向.在矩阵理论中, 矩阵保持问题是一个活跃的研究领域,取得了丰硕的研究成果[1-10].矩阵保持问题主要研究保持矩阵某种特性的映射.例如, 保持行列式的映射[1],保持幂等的映射[2-6], 保持对合的映射[4]等等.根据研究的矩阵空间, 保持问题可分为: 全矩阵空间的保持问题[1], 上三角矩阵空间的保持问题[2], 对称矩阵空间的保持问题, Hermitian矩阵空间的保持问题等.根据研究的映射的性质, 保持问题可分为: 加法保持问题,线性保持问题[4-5]等.根据矩阵空间的基础域, 保持问题可分为: 域上的矩阵保持问题[1-3,6,10],环上的矩阵保持问题[5,9], 半环上的矩阵保持问题[8]等.

目前, 对于域上的矩阵保持问题已取得了大量的研究成果[1-3,6,10].特别地,文献[3]刻画了域上全矩阵空间的保持k 幂等映射的形式.本文将研究交换环上的全矩阵空间和上三角矩阵空间的保持k 幂等映射的形式,从而推广文献[3]的结论.由于在一般的交换环中, 不能像在域中一样可求任意非零元的逆元, 本文的结论及其证明与文献[3]中对应的定理有所不同.

2 预备知识

3 保持k幂等的映射

上述推论推广了文献[3]中的定理2.3.

3.2 上三角矩阵空间上保持幂等的映射

类似推论2, 我们有下面的推论.

[1] 樊玉环, 魏喆, 修涛.域上特殊矩阵空间的保持行列式的函数[J].齐齐哈尔大学学报：自然科学版, 2016(2):81-83.

[2] 樊玉环, 王佩臣.域上上三角矩阵空间的保持幂等的函数[J].河北科技大学学报, 2013 (3):200-203.

[3] 关丽杰.域上矩阵幂零及幂等性保持函数[D].哈尔滨： 黑龙江大学, 2012.

[4] 赵青.保幂等算子的线性映射[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学, 2013.

[5] 曹重光.除环上矩阵保幂等的线性算子[J].科学通报, 1993(4):302-304.

[6] 曹重光, 张显, 刘国桐.保特征2的域上幂等矩阵的线性算子[J].数学研究与评论, 1996 (1):147-149.

[7] 张显, 曹重光.交换整环上的上三角矩阵保对合的线性算子[J].数学杂志, 1995(3):297-300.

[8] 任苗苗.几类保持半环上矩阵不变量的线性算子[D].西安：西北大学, 2012.

[9] 杨巍.交换整环上三角矩阵的线性保持算子[D].哈尔滨：黑龙江大学, 2007.

[10] 曹重光, 陈涛.保域上立方幂等矩阵的线性映射[J].数学研究, 2004(3):299-303.

[11] BROWN W C. Matrices over commutative rings [M], Marcel Dekker Inc., 1993.

【责任编辑：吴跃新】

Mappings Preserving k Idempotence of Matrices over Commutative Rings

ZHAO Xiangui，ZHANG Guoting
(School of Mathematics and Big Data Science, Huizhou University, Huizhou 516007, Guangdong, China)

Preserving problems of matrices over fields are actively studied.In this paper，we investigate preserving problems of matrices over a commutative ring.We characterize mappings preserving k idempotence of matrices in the full matrix space and upper triangular matrix space over a commutative ring.Our results extend an existing theorem.

preserving problem of matrices; k idempotent matrix; full matrix space; upper triangular matrix space

A

1671 - 5934 (2017)03 - 0019 - 06

2017 - 05 - 20

广东省自然科学基金 (2016A030310099); 惠州学院教博科研启动基金(2015JB021)

赵显贵（1984 - ）, 男, 四川达州人, 讲师, 博士, 研究方向为代数学, Email: zhaoxg@hzu.edu.cn