圆薄膜在均布荷载下大挠度变形的精确解

郭建军 黄 薇

(重庆水利电力职业技术学院建筑工程系， 重庆 402160)

圆薄膜在均布荷载下大挠度变形的精确解

郭建军 黄 薇

(重庆水利电力职业技术学院建筑工程系， 重庆 402160)

研究固定边界条件下的圆薄膜在横向均匀分布荷载作用下的大挠度变形。根据大挠度理论，建立了固定边界条件下圆薄膜在横向受到满布均布荷载作用下大挠度变形的控制方程组，利用无量纲参数法对其进行简化，结合合适的边界条件求出其精确解析解。通过算例分析，与已有幂级数解比较，结果验证了精确解的正确性。

圆薄膜； 大挠度； 均匀分布荷载； 精确理论解析解

建筑薄膜结构是一种新型的建筑结构形式，广泛应用于运动场、展览中心、停车场等公共场所。近年来，随着材料科学和建筑技术的不断进步，建筑薄膜结构的发展异常迅速。研究薄膜结构力学理论有助于推进和完善建筑薄膜结构的理论体系，使其成为一种大众化的建筑结构形式。然而薄膜方程组是非线性微分方程组，其求解过程比较困难[1-7]。目前，国内外已有一些相关研究成果。冯卡门大挠度理论是求解薄膜大挠度变形的常用方法，该理论以大挠度和小转角为基本的假设条件,同时忽略冯卡门方程中抗弯刚度的影响，将薄板大挠度问题转化为薄膜问题。寻找以初等函数表示的精确解析解成为专家和学者的关注焦点。目前研究主要集中于固定边界条件下的薄膜在膜面上受到不同种类分布荷载作用下的大挠度变形问题。本次研究给出将周边固定的圆薄膜在横向受到全膜均布荷载作用下大挠度变形问题的精确理论解析解。

1 研究进展

固定边界条件下的圆薄膜在横向均匀分布荷载作用下的大挠度变形解析解，就是著名的Hencky解。力学模型如图1所示。Hencky使用幂级数的解法，首先将应力和挠度以幂级数形式表示，并将其代入非线性控制方程组，然后根据固定边界条件几何表达式求出相关系数，最后推导出圆薄膜在横向均布荷载作用下大挠度变形方程的幂级数解表达式[8]。然而，Hencky在求解过程中出现了计算性的错误，由钱伟长[1]和Alekseev[9]分别给予了纠正。钱伟长与Hencky给出的圆膜问题解答主要区别在于，求解非线性微分方程组的方法不同。

Hencky和钱伟长求解圆薄膜问题的方法被后来的学者称为“Hencky变换法”[10]。何晓婷利用“Hencky变换方法”，给出了均布荷载作用下受有预加张力弹性圆薄膜轴对称大变形的一般解，以及以幂级数形式表达的圆薄膜中心挠度、径向和环向薄膜内力的计算公式[11]。计算表明，当水平预张力相对于膜面垂直荷载很较小时，解答结果与Hencky理论结果接近；当水平预加张力相对于荷载较大时，解答结果接近于线性理论结果。Sun根据Hencky的幂级数解，推导了求解薄膜泊松比和杨氏弹性模量的计算公式[12]。

虽然Hencky解是一种误差很小的理论解，得到了大家的一致认可，但是也存在一些问题。例如，如果存在边界层效应时，Hencky的幂级数解就不一定存在；如果采用有限差分法求解时，如果所在边界应力和法向压力较小，会出现难以收敛的情况。Dickey绕过Hencky问题的上述弊端，分析了当边界应力或者位移为已知条件的情况下，在横向均布荷载作用下弹性圆薄膜的应力和应变的具体分布形式，并且将Hencky的微分方程转化为等价的非线性积分方程来进行求解，同时证明了该解的存在性[13]。荣阳根据二阶微分方程幂级数解法的形式对Hencky问题的薄膜方程进行了重新推导，发现“Hencky变换方法”只适用于具有特殊形式的二阶微分方程，而不能作为求解任意形式的二阶微分方程的有效数学方法[14]。

图1 圆薄膜在横向荷载作用下示意图

目前关于固定边界条件下的圆薄膜在横向均布荷载作用下大挠度变形问题的解，主要是以幂级数为主的近似解析解以及数值解。在此，根据合适的边界条件表示，给出了固定边界条件下圆薄膜在横向均布荷载作用下大挠度变形问题的精确理论解。

2 控制方程组的建立

假定在固定边界条件下的圆薄膜中心区域取一半径为r的一块圆薄膜，研究这块圆薄膜在均布荷载q作用下的力学平衡问题(见图2)。

图2 圆薄膜竖向受力平衡图

竖直方向的平衡方程为：

2πrσrhsinθ=πr2q

(1)

式中：r—— 薄膜的半径，mm；

q—— 薄膜受到的横向均布荷载集度，Nmm2；

h—— 薄膜的厚度，mm；

σr—— 薄膜的径向应力，Nmm2；

θ—— 薄膜的转动角，(°)。

设w(r)表示薄膜在r处的竖向挠度值，则有：

(2)

将式(1)带入式(2)，得到：

(3)

在水平方向，圆薄膜平面内有径向的薄膜力和环向的薄膜力作用(见图3)，其平衡条件为：

图3 圆薄膜平面力平衡图

(4)

式中：σr—— 薄膜的径向应力，Nmm2；

σt—— 薄膜的环向应力，Nmm2。

化简式(4)得：

(5)

式中：εr—— 薄膜的径向应变，无量纲；

εt—— 薄膜的环向应变，无量纲；

u(r) —— 薄膜的径向位移，mm。

则可以用薄膜的径向位移和竖向挠度值表示应变关系：

(6)

用应变表示应力关系为：

(7)

式中：E—— 薄膜材料的弹性模量，MPa：

v—— 薄膜材料的泊松系数，无量纲。

变换式(7)可以得到用应力表示应变关系：

(8)

(9)

再由式(4)得到薄膜径向力和环向力：

(10)

式中：Nr—— 薄膜径向力，N；

Nt—— 薄膜环向力，N。

将式(6)代入式(7)得：

(11)

由式(9)、(10)、(11)，得到：

(12)

所以圆薄膜在均布荷载作用下大挠度基本方程：

(13)

3 控制方程组的简化

引入无量纲系数x，y，G，Sr，Q，其表达式如下：

将圆薄膜在均布载荷下大挠度的基本方程组(13)无量纲简化为：

(14)

4 边界条件

在薄膜边界处，中面的径向位移u=0，所以

2xz′-(1+v)z=0

(15)

当x=0时，Nr取得最大且为有限值，即Sr为有限值，所以函数z当x→0时，应满足以下条件：

(16)

5 控制方程组的精确解析解

将边界条件式(15)和(16)代入式(14)，求得：

(17)

根据前面的无量纲系数和相关假设，可以求得圆薄膜在均布荷载作用下的挠度表达式：

(18)

(19)

圆薄膜在均布荷载作用下的环向力表达式：

(20)

6 算例分析

某均质ETFE薄膜材料，其弹性模量为E=4 212 MPa，其泊松比为ν=0.41，薄膜厚度h=0.02 mm，薄膜半径R=97 mm，均匀分布荷载的集度q=0.001 452 MPa。运用本次给出的精确解析解表达式和文献[14]给出的近似解析解(幂级数解法)，分别求解了薄膜整个膜面的挠度值。变形后的挠度图见图4。

图4 ETFE薄膜挠度图

由图4可以得出，2种解法得出的挠度曲线形态上非常接近，吻合度良好，证明了本次给出的精确解析解表达式的正确性。由本次的精确解析解而求得的挠度值比已有的近似解析解所得挠度值更安全，挠度曲线更加符合柔性薄膜的凹曲变形状态。

7 结 语

根据薄膜大挠度理论，建立了固定边界条件下圆薄膜在满布均布荷载作用下大挠度的控制方程组，选取合适的无量纲系数对其进行简化，结合正确的边界条件，推导出了圆薄膜在满布均布荷载作用下大挠度变形的精确解析解。与其幂级数解比较，误差更小，计算更加方便，该工作有助于求解圆薄膜在其他横向荷载作用下大挠度变形的精确解析解。

[1] 钱伟长.弹性圆薄板大挠度问题[M].北京:科学出版社，1954:1-22.

[2] CHIEN W Z，WANG Z Z，XU Y G ，et al.The symmetrical deformation o f circular membrane under the action of uniformly distributed lo ads in its central portion[J] .Applied Mathematics and Mechanics:English Edition，1981，2(6):653-688.

[3] 钱伟长，陈山林.合成展开法求解圆薄板大挠度问题[J].应用数学和力学，1985,6(2):103-119.

[4] 吴建梁.延周边径向张拉圆薄膜的应力分布[J].重庆工商大学学报(自然科学版)，2009,26(2):174-177.

[5] 段浩，胡宗武，杨桢石，等.受压橡胶圆薄膜非线性变形特性分析[J].上海交通大学学报,2003,37(1):90-92.

[6] ESHMATOV B K.Nonlinear vibrations and dynamic stability of viscoelastic orthotropic rectangular plates[J].Journal of Sound and Vibration，2007(300): 709 - 726.

[7] FORMOSA F.Nonlinear dynamics analysis of a membrane stirling engine: starting and stable operation[J].Journal of Sound and Vibration，2009(326):794-808.

[8] HENCKY H.Uber den spannungszustand in kreisunden platten mit verschwindender Biegungssteifigkeit[J].Zeitschrift Fur Mathematik und Phyzik，1915(63):311-317.

[9] AЛЕКОЕЕВ C A.Круглая плоекая упругая мамбрана под равномерной иоперечной нагрузкой[J].инж.оборник，т.,1953(14):196-198.

[10] CHEN S L，ZHENG Z L.Large deformation of circular membrane under the concentrated force [J].Applied Mathematics and Mechanics: English Edition，2003，24(1):28-31.

[11] 何晓婷，吴建梁，郑周练，等.均布荷载下受有预加张力圆薄膜的轴对称变形[J].重庆大学学报(自然科学版),2010,33(1): 109-112.

[12] SUN J Y，HU J L ，ZHENG Z L，et al.A practical method for simultaneous determination of Poisson’s ratio and Young’s modulus of elasticity of thin films[J].Journal of Mechanical Science and Technology，2011，25 (12):3165-3171.

[13] DICKEY R W.The plane circular elastic surface under normal pressure[J].Archive for Rational Mechanics and Analysis，1967，26(3): 219-236.

[14] 荣阳.圆薄膜问题之幂级数解法以及推广的Hencky变换方法之反证[D].重庆： 重庆大学土木工程学院,2014:1-20.

Exact Theoretical Solution for Large-Deformation of Circle Membrane under Uniformly Distributed Loads

GUOJianjunHUANGWei

(Department of Architectural Engineering, Chongqing Water Resources and Electric Engineering College, Chongqing 402160, China)

This paper studies the large deformation of circle membrane with the fixed boundary condition, under the lateral uniformly distributed loads. Based on the deflection theory of membrane, basic governing equations of large-deflection for circular isotropic membrane under uniformly distributed loads, are derived. And the appropriate dimensionless variables are selected to simplify the basic governing equation. With a set of proper boundary conditions, the exact theoretical analytical solution for large-deflection of circular membranes is obtained. Based on the numerical analysis, compared with the existing power series solution, the correctness of the exact solution proposed in this paper is verified.

circular membranes; large-deflection; uniformly distributed load; exact theoretical analytical solution

2017-06-02

重庆市教委科学技术研究项目“平面建筑膜结构在积水和积雪荷载作用下的大挠度变形研究”(KJ1603602)；重庆水利电力职业技术学院校级科研项目“建筑薄膜结构在横向荷载作用下的大挠度变形研究”(K201509)

郭建军(1986 — )，男，四川南充人，博士，讲师，研究方向为固体力学。

TB115

A

1673-1980(2017)04-0108-04