多个同方向同频率简谐振动合成研究

陈学文 姚 雪 罗源源 张家伟

(重庆科技学院数理学院， 重庆 401331)

多个同方向同频率简谐振动合成研究

陈学文 姚 雪 罗源源 张家伟

(重庆科技学院数理学院， 重庆 401331)

分别采用振动方程(三角函数)叠加法、复指数函数叠加法和旋转矢量合成研究多个振动方向相同、频率相同、振幅相同的简谐振动合成问题，得到多个振动方向相同、频率相同、振幅相同的简谐振动合成后仍为简谐振动的结论，并给出了振动加强合振动减弱的条件。

振动合成； 振动方程； 复指数函数； 旋转矢量

《大学物理》课本讨论简谐振动合成的内容中，主要限于讨论2个简谐振动的叠加，对2个以上同方向同频率简谐振动的叠加问题未作太多讨论。而在讨论光的多缝干涉、单缝衍射和光栅衍射相关问题时，若要定量计算光强分布，会涉及多个简谐振动甚至无穷多个简谐振动叠加问题。因此，多个同方向同频率简谐振动合成是十分重要的知识点，是光的干涉和衍射理论基础。蓝海江讨论了在一维、二维及三维坐标中合成多个同频率及不同频率的简谐振动[1]。李宏讨论了2个一维简谐振动合成问题[2]。万鹏程等人从向量法角度讨论了同方向同频率简谐振动合成问题[3]。高琳讨论了待定系数法与多个简谐振动的合成问题[4]。简谐振动的描述方法有代数法(振动方程)、曲线表示法、旋转矢量法、复数法等。本次研究中，分别利用振动方程(三角函数)叠加法、复指数函数叠加法和旋转矢量合成，讨论多个振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位差依次相同的简谐振动的合成。

1 三角函数叠加法

简谐振动可用三角函数表示为y=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为系统固有角频率，(ωt+φ)为相位，φ为初相位。现假设有N个振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位差Δφ依次相同的简谐振动，可将振动方程依次表示为：y1=Acosωt，y2=Acos (ωt+Δφ)，…，yN=Acos[ωt+(N-1)Δφ]。这N个简谐振动的合振动为

y=y1+y2+…+yN=A{cosωt+cos (ωt+Δφ)+ …+cos[ωt+(N-1)Δφ]}

(1)

利用三角函数和差化积公式：

sin(α+β)-sin(α-β)=2 cosαsinβ

(2)

得到如下关系式

(3)

将式(3)各项相加，左边的所有项(除首位两项之外)相消，可得：

sin[ωt+(2N-1)Δφ2]-sin(ωt-Δφ2)

=2{cosωt+cos(ωt+Δφ)+…+ cos[ωt+(N-1)Δφ]}sin(Δφ2)

(4)

再利用式(2)，可得：

sin[ωt+(2N-1)Δφ2]-sin(ωt-Δφ2)

=2cos[ωt+(N-1)Δφ2]sin(NΔφ2)

(5)

根据式(4)和(5)，可得：

2ysin(Δφ2)=2Acos[ωt+(N-1)Δφ2]·
sin(NΔφ2)

(6)

则合振动为：

(7)

可以看出，合振动仍为简谐振动。

2 复指数函数叠加法

与三角函数叠加相比，利用复指数函数z=Aei(ωt+φ)进行叠加处理相对简单。将合振动写成几何级数，由欧拉公式：

(8)

合振动的运动学函数为复指数函数的实部：

(9)

再利用等式sinx=(eix-e-ix)2i，可得：

(10)

可以看出，合振动仍为简谐振动。

3 旋转矢量法

旋转矢量法为一种描述简谐振动较为直观的几何方法。从坐标原点O(平衡位置)开始画一个矢量，使它的模等于谐振动的振幅A，并令t=0时A与x轴的夹角等于谐振动的初相位φ0，然后使A以等于角频率ω的角速度在平面上绕O点作逆时针转动，这样的矢量称为旋转矢量。旋转矢量任一时刻在x轴上的投影为x=Acos(ωt+φ0)，描述了一个简谐振动。陈柯讨论了旋转矢量法在解决简谐振动相关问题中的应用[5]；姜丽娜、杨植宗等人讨论了利用旋转矢量讨论光的衍射[6-7]。

对N个振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位差依次相同的简谐振动，可以根据矢量图法计算振动中与时间无关的部分：

y=y1+y2+…+yN=A[cosΔφ+…+cos(N-1)Δφ]

(11)

N个振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位差依次相同的旋转矢量合成(叠加)如图1所示。

图1 简谐振动旋转矢量合成(叠加)

故合振动为：

(12)

4 讨论

N-1。即在Δφ∈[2kπ，2(k+1)π]间隔为2π的区间内有N-1个极小值。以N=5为例画出了振动加强和振动减弱的旋转矢量示意图(见图2、图3)。

图2 振动加强旋转矢量图

图3 振动减弱旋转矢量图

5 结 语

分别采用振动方程(三角函数)叠加法、复指数函数叠加法和旋转矢量合成研究了多个振动方向相同、频率相同、振幅相同的简谐振动合成问题。3种方法的结论相同，即多个振动方向相同、频率相同、振幅相同的简谐振动合成后仍为简谐振动。由于工科《大学物理》学时的限制，一般情况下此知识点不作为课堂讲授内容。然而，在研究光(波)的干涉和衍射相关内容时，有要利用到多个同方向、同频率、同振幅简谐振动的叠加相关知识。因此，在讲授振动合成相关内容时，可增加此知识点的讲授。一方面可使学生更加深入地理解振动合成；另一方面也为后续讨论光(波)的干涉和衍射相关问题打下理论基础。

[1] 蓝海江.多个简谐振动的合成[J].广西科学院学报， 2009，25(1):22-25.

[2] 李宏.一维简谐振动合成方法的探讨[J].吉林师范大学学报(自然科学版)， 2013，34(2):91-93.

[3] 万鹏程，张勇，宋国利.同方向同频率简谐振动合成的相量法[J].科技创新导报，2008，30(1):7-8.

[4] 高琳.待定系数法与多个简谐振动的合成[J].赤峰学院学报(自然科学版)， 2009，25(8):24-25.

[5] 陈柯.旋转矢量法在解决简谐振动相关问题中的应用[J].物理与工程， 2014， 24(3):47-50.

[6] 姜丽娜.单缝夫琅和费单缝衍射光强分布的3种计算方法[J].辽宁科技大学学报， 2011，34(2): 123-128.

[7] 杨植宗，段永法，刘洋，等.光的干涉与衍射现象的物理本质[J].高师理科学刊， 2011，31(1):57-58.

Research on the Synthesis of Harmonic Vibration With the Same Frequency and Direction

CHENXuewenYAOXueLUOYuanyuanZHANGJiawei

(School of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331, China)

In this paper, the synthesis of simple harmonic vibration with the same direction, frequency and amplitude is studied by adopting the superposition method of vibration equation (trigonometric function), complex exponential function, superposition and rotational vector synthesis respectively. The results show that it is still a simple harmonic vibration after the synthesis of simple harmonic vibrations, and the conditions that the vibration is strengthened or weakened are also proved.

vibration synthesis; vibration equation; complex exponential function; rotational vector

2017-05-09

重庆市高等教育教学改革研究项目“应用技术型大学人才培养模式下的物理通识教育探索与实践”(153151)；重庆市科委基金“国际直线对撞机上主要粒子反应过程的理论研究”(CSTC2016JCYJA0336)；重庆科技学院博士教授启动基金“标准模型中混合链图传播传播下粒子反应的严格计算”(CK2014B21)

陈学文(1982 — )，男，博士，副教授，研究方向为物理教学。

O321

A

1673-1980(2017)04-0119-03